בחינה לדוגמא במבוא להסתברות – מעולה לתרגול והתכוננות למבחן מכיוון שהבחינה כוללת תשובות ופתרונות, אבל התשובות מכוסות עד שתלחצו כדי לפתוח אותן. כך אתם יכולים גם לתרגל ולבחון את עצמכם בלי לראות את התשובה, וגם לבדוק את עצמכם לאחר מכן על ידי גילוי התשובה!
שאלה 1
בכד 1 מטבע שבו ההסתברות להצלחה 0.8. בכד 2 מטבע בו ההסתברות להצלחה 0.4. בוחרים באקראי כד מוציאים את המטבע מטילים אותו ומחזירים את המטבע לכד. חוזרים על הניסוי 3 פעמים. (כלומר בכל שלב בוחרים כד, מוציאים מטבע ומטילים אותו)
• יהי X משתנה מיקרי המתאר את מספר ההצלחות בניסוי. אזי ל-X
א. התפלגות גיאומטרית
ב. התפלגות בינומית
ג. התפלגות היפרגיאומטרית
ד. אין תשובה נכונה
ב. התפלגות בינומית
במקרה זה 3 ניסויים בלתי תלויים סיכוי להצלחה: 0.8*0.5+0.4*0.5 =0.6. לכן X בינומי (3,0.6)
שאלה 2
בהמשך לנתוני השאלה הקודמת, תוחלת מספר ההצלחות הוא:
א. 1.5
ב. 1.7
ג. 1.8
ד. אין תשובה נכונה
ג. 1.8
בהמשך לחישוב בשאלה הקודמת, התוחלת 3*0.6=1.8
שאלה 3
בהמשך לנתוני השאלות הקודמות, יהי Y מספר הכשלונות. אזי Var(X-Y) היא:
א. 0
ב. 2.88
ג. 1.92
ד. אין תשובה נכונה
ב. 2.88
נשים לב ש-X+Y=3. לכן Y=3-X ו-X-Y=2X-3.
לכן:
Var(X-Y) = Var(2X-3) = 4Var(x) = 4*3*0.6*0.4 = 2.88
שאלה 4
בהמשך לנתוני השאלות הקודמות, נתון שהניסוי הראשון היה הצלחה. הסיכוי לשתי הצלחות הוא
א. 0.5
ב. 0.375
ג. 0.48
ד. אין תשובה נכונה
ג. 0.48
שאלה 5
בהמשך לנתוני השאלות הקודמות, הניחו עתה שבוחרים כד באקראי ומטילים את המטבע שבו 3 פעמים.
• יהי W משתנה מיקרי המתאר את מספר ההצלחות בניסוי. אזי ל-W
א. התפלגות גיאומטרית
ב. התפלגות בינומית
ג. התפלגות היפרגיאומטרית
ד. אין תשובה נכונה
ד. אין תשובה נכונה
בעזרת נוסחת ההסתברות השלימה, לא מתאים לאף אחת מההתפלגויות לכן ד'
שאלה 6
בהמשך לנתוני השאלות הקודמות,
• יהי V מספר הכד שנבחר. אזי:
א. V ו-W בלתי תלויים
ב. השונות המשותפת אי שלילית
ג. השונות המשותפת אי חיובית
ד. אין תשובה נכונה
ג. השונות המשותפת אי חיובית
נשים לב שההסתברות להצלחה הגבוהה היא לכד עם המספר הנמוך. כלומר מספר הכד מונוטוני יורד בהסתברות להצלחה ולכן השונות המשותפת היא אי חיובית
שאלה 7
בהמשך לנתוני השאלות הקודמות
• נתון הטלת המטבע הראשונה היתה הצלחה. מה ההסתברות שגם ההטלה הבאה תהיה הצלחה?
א. 1/2
ב. 1/3
ג. 2/3
ד. אין תשובה נכונה.
ג. 2/3
נסמן A1 הצלחה הטלה ראשונה
נסמן A2 הצלחה הטלה שניה
נסמן B1 נבחר כד 1 (סיכוי הצלחה 0.8)
נסמן B2 נבחר כד 2 (סיכוי הצלחה 0.4)
שאלה 8
נתון סביבון הוגן שעל פיאותיו הספרות 1,2,3,4 (4 פאות הסתברות שווה לכל פאה). מסובבים את הסביבון פעם אחר פעם.
• ההסתברות שתתקבל התוצאה 4 לפני שתתקבל התוצאה 1 היא:
א. 1/4
ב. 1/2
ג. 1/3
ד. אין תשובה נכונה.
ב. 1/2
משיקולי סימטריה 1/2.
פורמלית: /(1-1/2)=1/2(1/4+1/2*1/4+(1/2)21/4+(1/2)3*1/2+….=(1/4
4 מופיע בניסוי הראשון או
2 או 3 בראשון 4 בשני או
2 או 3 בשני הניסויים הראשונים 4 בשלישי
וכך הלאה
שאלה 9
בהמשך לנתוני השאלה הקודמת,
• מה ההסתברות שלפחות אחת הספרות לא תופיע ב-10 הסיבובים הראשונים?
א. 0.1111
ב. 0.8889
ג. 0.2194
ד. אין תשובה נכונה
ג. 0.2194
שאלה 10
בהמשך לנתוני השאלה הקודמת,
• מסובבים את סביבון הוגן שעל פיאותיו הספרות 1,2,3,4 עד שמתקבלת הספרה 4. יהי X מספר ההטלות. ל-X התפלגות
א. בינומית
ב. בינומית שלילת
ג. גיאומטרית
ד. אין תשובה נכונה
ג. גיאומטרית
שאלה 11
בהמשך לנתוני השאלה הקודמת,
• מסובבים את הסביבון עד שמתקבלת הספרה 4 בפעם השניה. יהי Y מספר ההטלות. פונקצית ההסתברות המותנה של X בהינתן n=Y היא:
א. אחידה
ב. גיאמטרית
ג. היפרגיאומטרית
ד. אין תשובה נכונה.
א. אחידה
• בהינתן Y=n ההצלחה הראשונה יכולה ליפול בניסויים 1,2,…,n-1
• מספר הניסויים עד לקבלת הצלחה שניה מרגע קבלת הצלחה ראשונה , דהיינו Y-X בלתי תלוי במספר הניסויים עד קבלת הצלחה ראשונה.
• ל-Y התפלגות בינומית שלילית (2,p) . P(y=n)=(n-1)p2(1-p)n-2, n=2,3,…
שאלה 12
בהמשך לנתוני השאלה הקודמת,
• השונות המשותפת של X ו-Y היא:
א. חיובית
ב. שלילת
ג. 0
ד. אין תשובה נכונה
א. חיובית
ככל ש-X יותר גדול גם Y יותר גדול לכן א.
פורמלית: מההסבר לסעיף הקודם:
Cov(X,Y)=Cov(X,(Y-X)+X)=Cov(X,Y-X)+var(X)=0+Var(X)>0
ניתן להשתמש בעובדה שבמקרה זה X ו-Y-X בלתי תלויים ולכן השונות המשותפת שלהם 0.
שאלה 13
בהמשך לנתוני השאלה הקודמת, יהי Sn סכום התוצאות ב-n הסיבובים הראשונים. (לדוגמא אם n=5 והתוצאות של 5 הסיבובים היו 1,3,4,2,1, אזי S5=9).
• התוחלת של S10 /10 היא:
א. 2.5
ב. 2
ג. 25
ד. אין תשובה נכונה
א. 2.5
נסמן ב- Xi תוצאה בסבוב i אזי:
E(Xi=(1+2+3+4)/4=2.5
Var(Xi)=(42-1)/12= 15/12=1.25
שאלה 14
בהמשך לנתוני השאלה הקודמת,
• השונות של S10/10 היא:
א. 1.25
ב. 12.5
ג. 0.125
ד. אין תשובה נכונה
ג. 0.125
נשים לב כיום ש- Xi בלתי תלויים שונות הסכום שווה לסכום שונויות
שאלה 15
בכד 4 כדורים 2 כחולים ממוספרים בספרות 1 עד 2 ו-2 כדורים ירוקים ממוספרים בספרות 1 עד 2.
מוציאים 2 כדורים ללא החזרה.
יהי X מספר הספרות המופיעות פעמיים במדגם ו-Y מספר הכדורים הכחולים במדגם.
סמן את התשובה הנכונה:
א. ל-X התפלגות בינומית וגם ל-Y התפלגות בינומית
ב. ל- X התפלגות היפרגיאומטרית ול-Y התפלגות בינומית
ג. ל-X התפלגות ברנולי ול-Y התפלגות היפרגיאומטרית
ד. אין תשובה נכונה
ג. ל-X התפלגות ברנולי ול-Y התפלגות היפרגיאומטרית
מספר הספרות המופיעות פעמיים יכול להיות 0 או 1 לכן X ברנולי
ל-Y התפלגות היפר גיאומטרית (המיוחדים: הכדורים הירוקים) N=4,R=2,n=2
לכן ג.
צריכים עזרה בעבודות ותרגילים בהסתברות או בכל נושא אחר? פנו אלינו במייל contact@spitball.co או בטופס:
