סיכומים נוספים באלגברה לינארית, פתרונות תרגילים ועוד
אלגברה ליניארית היא ענף של המתמטיקה העוסק במשוואות ליניאריות ובטרנספורמציות ליניאריות. זהו נושא קריטי בתחומים רבים, כולל הנדסה, פיזיקה ומדעי המחשב. להלן סיכום של המושגים העיקריים המכוסים בקורס אלגברה ליניארית:
וקטורים: וקטור הוא רכיב של מרחב וקטורי, שהוא קבוצה של עצמים שניתן להוסיפם יחד ולהכפיל אותו ("קנה מידה") במספרים, שנקראים סקלרים. במרחב דו-ממדי, וקטור מיוצג בדרך כלל על ידי חץ, כשאורך החץ מייצג את גודל הווקטור וכיוון החץ מייצג את הכיוון של הווקטור. במרחב רב-ממדי, וקטור מיוצג בדרך כלל על ידי רשימה של מספרים.
משוואות ליניאריות: משוואה ליניארית היא משוואה שניתן לכתוב אותה בצורה "ax + by = c", כאשר "a" ו- "b" הם קבועים ו- "x" ו- "y" הם משתנים. הפתרונות למשוואה ליניארית יוצרים קו במרחב דו-ממדי או מישור במרחב תלת-ממדי.
מטריצות: מטריצה היא מערך מלבני של מספרים, סימנים או ביטויים המסודרים בשורות ובעמודות. ניתן להוסיף ולהכפיל מטריצות באמצעות סקלרים, והן יכולות גם להיות מוכפלות במטריצות אחרות. כפל מטריצות אינו קומוטטיבי, כלומר A * B אינו שווה בהכרח ל- B * A.
דטרמיננטות: דטרמיננטה של מטריצה היא ערך סקלרי שניתן לחישוב באמצעות האלמנטים של המטריצה. הדטרמיננטה שימושית למציאת הופכי של מטריצה ולפתרון מערכות של משוואות ליניאריות.
ערך עצמי וקטורים עצמיים: וקטור עצמי של מטריצה הוא וקטור שאינו אפס שכאשר הוא מוכפל במטריצה, התוצאה היא כפולה סקלרית של עצמו. הכפולה הסקלרית נקראת ערך עצמי של המטריצה. ערך עצמי ווקטורי עצמיים חשובים בחקר הטרנספורמציה הליניארית, כיוון שהם מספקים תובנה לגבי כיצד הטרנספורמציה משנה את הצורה ואת האוריינטציה של עצם.
אורתוגונליות: שני וקטורים הם אורתוגונליים אם הם מאונכים זה לזה. וקטורי התמרה (Orthogonal vector) חשובים ביישומים רבים, כמו בהטלה וריבועים קטנים.
תוצרים פנימיים: מכפלה פנימית היא דרך לקחת מכפלה סקלרית של שני וקטורים שהיא ערך סקלרי המודד את הדמיון בין שני וקטורים. תוצרים פנימיים יכולים להגדיר מרחקים וזוויות בין וקטורים ולחקור את הגאומטריה של מרחבים וקטוריים.
אלגברה ליניארית היא נושא מתמטי בסיסי בעל יישומים רבים במגוון תחומים. זהו כלי חיוני להבנה ולפתרון של בעיות הקשורות למשוואות ליניאריות וטרנספורמציות.
