האוניברסיטה הפתוחה
שאלון בחינת גמר – 20474 חשבון אינפיניטסימלי 1
מס' שאלון 490 · מועד 81 · סמסטר 2022ב · ט"ו בסיון תשפ"ב, 14 ביוני 2022 · משך הבחינה: 3 שעות.
מבנה הבחינה
לבחינה שני חלקים.
חלק ראשון: שאלות 1–4, יש לענות על שלוש שאלות בלבד מבין שאלות 1–4. בחלק מהשאלות ישנם סעיפים, אין בהכרח קשר בין הסעיפים. יש לנמק באופן מפורט את כל הטיעונים שלכם.
חלק שני: שאלות 5–9, שאלות חובה. ענו על כל חמש השאלות. סמנו את התשובה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק, רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
חומר עזר
חוברת הגדרות ומשפטים. אסורות הערות בכתב יד על גבי החוברת. אין להכניס חומר מודפס נוסף או כל חומר אחר מכל סוג שהוא. אסור להשתמש במחשבון.
חלק ראשון
ענו על שלוש שאלות בלבד מבין השאלות 1–4.
שאלה 1 (25 נקודות)
הוכיחו את משפט 5.29:
אם \( f \) רציפה בקטע הסגור \( [a,b] \) ואם \( f(a)\cdot f(b)<0 \), אז קיימת בקטע הפתוח \( (a,b) \) נקודה \( c \) שעבורה מתקיים \( f(c)=0 \).
הערה: ניתן להניח \( f(a)<0<f(b) \).
הדרכה: נאמר שקטע סגור \( [c,d] \) המוכל ב-\( [a,b] \) הוא קטע טוב אם \( f(c)<0<f(d) \). הוכיחו תחילה שאם \( [c,d] \) הוא קטע טוב, ואם \( m \) נקודת האמצע של הקטע, אז או ש-\( f(m)=0 \) או שלפחות אחד מבין שני הקטעים \( [c,m] \), \( [m,d] \) הוא קטע טוב. בהמשך בנו סדרה של קטעים מתאימים.
שאלה 2 (25 נקודות)
א. (10 נק') הוכיחו את משפט 7.9:
אם \( f \) גזירה ב-\( x_0 \), אז \( f \) רציפה ב-\( x_0 \).
ב. (15 נק') תהי \( f \) פונקציה רציפה בקטע \( [0,\infty) \) המקיימת \( 0<f(x)<e^{-x^2} \) לכל \( x\in[0,\infty) \). הוכיחו ש-\( f \) מקבלת מקסימום ב-\( [0,\infty) \).
שאלה 3 (25 נקודות)
תהי \( (a_n) \) הסדרה הנתונה ע"י: \( a_1=2 \), \( a_{2n}=\dfrac{a_{2n-1}}{2} \), \( a_{2n+1}=a_{2n}+\dfrac{1}{2} \).
נסמן \( x_n=a_{2n-1} \), \( y_n=a_{2n} \).
(1) מצאו נוסחאות נסיגה עבור הסדרות \( (x_n) \), \( (y_n) \) (כלומר ביטוי של \( x_{n+1} \) במונחי \( x_n \), ביטוי של \( y_{n+1} \) במונחי \( y_n \)).
(2) הוכיחו שהסדרות \( (x_n) \), \( (y_n) \) מתכנסות.
(3) מצאו אם הסדרה \( (a_n) \) מתכנסת או מתבדרת. במידה והיא מתכנסת, הוכיחו זאת וחשבו את גבולה. במידה והיא מתבדרת, הוכיחו זאת ומצאו את קבוצת כל הגבולות החלקיים שלה.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
שאלה 4 (25 נקודות)
א. (10 נק') הוכיחו/הפריכו:
תהי \( f \) פונקציה רציפה בקטע \( I \), ותהי \( (x_n) \) סדרת קושי (ראו הגדרה 3.35) כך שלכל \( n \) מתקיים \( x_n\in I \). אז \( (f(x_n)) \) היא סדרת קושי.
ב. (15 נק')
(1) הוכיחו ש-\( f(x)=\ln(x^2+\cos^2 x) \) מוגדרת בקטע \( [0,\infty) \).
(2) הוכיחו ש-\( f(x)=\ln(x^2+\cos^2 x) \) רציפה במ"ש בקטע \( [1,\infty) \).
(3) הוכיחו ש-\( f(x)=\ln(x^2+\cos^2 x) \) רציפה במ"ש בקטע \( [0,\infty) \).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
חלק שני
שאלות 5–9 – חובה. ענו על כל חמש השאלות. בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 5 (5 נקודות)
נאמר שקבוצה \( A \) צפופה בקטע \( I \) אם לכל \( x,y\in I \) כך ש-\( x
1. אם \( A \) צפופה ב-\( I \) ו-\( A\subseteq B \) אז \( B \) צפופה ב-\( I \).
2. אם \( A \) צפופה ב-\( I \) ו-\( B\subseteq A \) אז \( B \) צפופה ב-\( I \).
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 6 (5 נקודות)
תהי \( f:(0,\infty)\to(0,\infty) \), \( f(x)=\begin{cases} x & x\in\mathbb{N} \\ \dfrac{1}{x} & x\notin\mathbb{N} \end{cases} \). אז:
א. \( f \) חח"ע ב-\( (0,\infty) \).
ב. \( f \) על \( (0,\infty) \).
ג. \( f \) חסומה מלעיל ב-\( (0,\infty) \).
ד. \( \lim\limits_{x\to\infty} f(x) \) קיים (במובן הרחב).
ה. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
שאלה 7 (5 נקודות)
תהי \( f(x)=\begin{cases} (\sqrt{x+9}-2)^{\frac{6}{x}} & x>0 \\ e & x=0 \\ e^{\frac{a}{x}}+1+x\cos\left(\dfrac{a}{x}\right) & x<0 \end{cases} \).
א. עבור \( a=0 \), \( f \) רציפה ב-\( x=0 \).
ב. עבור \( a=0 \), \( x=0 \) הינה נקודת אי רציפות סליקה של \( f \).
ג. עבור \( a>0 \), \( f \) רציפה ב-\( x=0 \).
ד. עבור \( a>0 \), \( x=0 \) הינה נקודת אי רציפות מסוג ראשון של \( f \).
ה. עבור \( a>0 \), \( x=0 \) הינה נקודת אי רציפות מסוג שני של \( f \).
ו. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
שאלה 8 (5 נקודות)
1. לכל \( x\in\mathbb{R} \) מתקיים \( 2x\arctan x \ge \ln(1+x^2) \).
2. קיימת פונקציה \( f \) רציפה ב-\( \mathbb{R} \) כך שלכל \( x\in\mathbb{R} \) מתקיים \( f(x)\cdot(\arctan x+\cos x)=1 \).
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 9 (5 נקודות)
תהי \( f \) פונקציה גזירה בקטע \( [0,1] \) ומקיימת \( f(0)=0 \), \( f(1)=1 \). אז:
א. \( f \) מונוטונית עולה בקטע \( [0,1] \).
ב. קיימת נקודה \( c\in[0,1] \) כך ש-\( f'(c)=1 \).
ג. קיימת נקודה \( c\in(0,1) \) בה ל-\( f \) יש מקסימום מקומי.
