האוניברסיטה הפתוחה
שאלון בחינת גמר – 20474 חשבון אינפיניטסימלי 1
מס' שאלון 478 · מועד 83 · סמסטר 2024ב · כ"ח בסיון תשפ"ד, 4 ביולי 2024 · משך הבחינה: 3 שעות.
מבנה הבחינה
לבחינה שני חלקים.
חלק ראשון: שאלות 1–4, יש לענות על שלוש שאלות בלבד מבין שאלות 1–4. בחלק מהשאלות ישנם סעיפים, אין בהכרח קשר בין הסעיפים. יש לנמק באופן מפורט את כל הטיעונים שלכם.
חלק שני: שאלות 5–9, שאלות חובה. ענו על כל חמש השאלות. סמנו את התשובה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק, רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
חומר עזר
חוברת הגדרות ומשפטים. אסורות הערות בכתב יד על גבי החוברת. אין להכניס חומר מודפס נוסף או כל חומר אחר מכל סוג שהוא. אסור להשתמש במחשבון, ואין להכניס כל חומר דיגיטלי.
חלק ראשון
ענו על שלוש שאלות בלבד מבין השאלות 1–4.
שאלה 1 (25 נקודות)
א. (10 נק') הוכיחו את משפט 2.22:
מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא סדרה אפסה.
ב. (15 נק') הוכיחו את משפט רול (משפט 8.5):
תהי \( f \) פונקציה רציפה בקטע הסגור \( [a,b] \) וגזירה בקטע הפתוח \( (a,b) \). אם \( f(a)=f(b) \), אז קיימת בקטע הפתוח \( (a,b) \) נקודה \( c \), שבה \( f'(c)=0 \).
שאלה 2 (25 נקודות)
א. (10 נק') הוכיחו את משפט 7.9:
אם \( f \) גזירה ב-\( x_0 \), אז \( f \) רציפה ב-\( x_0 \).
ב. (15 נק') הוכיחו שלמשוואה \( x=\tan x \) יש אינסוף פתרונות חיוביים.
הערה: ידוע שלכל \( k \) שלם, \( \lim\limits_{x\to(\frac{1}{2}\pi+\pi k)^{-}}\tan x=+\infty \), \( \lim\limits_{x\to(\frac{1}{2}\pi+\pi k)^{+}}\tan x=-\infty \).
שאלה 3 (25 נקודות)
(1) עבור כל \( x\in[0,\infty) \), חשבו את \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{nx}{1+n^2x^2} \).
הערה: מדובר בגבול של סדרה. \( x \) מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה היא מספר שיכול להיות תלוי ב-\( x \).
(2) נסמן \( f(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2} \) בקטע \( [0,\infty) \), כאשר \( n\in\mathbb{N} \). הערה: זו פונקציה בקטע \( [0,\infty) \). \( n \) מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). חשבו את \( \sup f([0,\infty)) \). רמז: חקרו את הפונקציה \( f(x) \) בקטע \( [0,\infty) \), מצאו את \( \max f([0,\infty)) \).
(3) נסמן \( s_n=\sup f([0,\infty)) \) (תוצאת הסעיף הקודם). הערה: \( (s_n) \) זו סדרה. הוכיחו או הפריכו: \( \lim\limits_{n\to\infty} s_n=0 \).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
שאלה 4 (25 נקודות)
א. (10 נק') יהיו \( A,B \) קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
(1) הוכיחו שאם \( A\subseteq B \) אז \( \sup A\le\sup B \).
(2) הוכיחו ש-\( \max\{\sup A,\sup B\}\le\sup(A\cup B) \).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
ב. (15 נק') תהי \( f(x) \) פונקציה חיובית ורציפה בקטע \( [0,\infty) \) המקיימת \( \lim\limits_{x\to\infty} f(x)=0 \). הוכיחו שהפונקציה \( g(x)=f(x)\sin x \) מקבלת מקסימום בקטע \( (0,\infty) \).
חלק שני
שאלות 5–9 – חובה. ענו על כל חמש השאלות. בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 5 (5 נקודות)
נאמר שקבוצה \( A \) צפופה בקטע \( I \) אם לכל \( x,y\in I \) כך ש-\( x
1. אם \( A \) צפופה ב-\( I \) ו-\( A\subseteq B \) אז \( B \) צפופה ב-\( I \).
2. אם \( A \) צפופה ב-\( I \) ו-\( B\subseteq A \) אז \( B \) צפופה ב-\( I \).
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 6 (5 נקודות)
תהי \( f(x)=\lfloor x\rfloor\cdot x\cdot\lceil x\rceil \).
1. כל \( x\in\mathbb{Z} \) היא נקודת אי רציפות.
2. \( f \) חסומה בכל קטע מהצורה \( (-a,a) \) כאשר \( a>0 \).
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 7 (5 נקודות)
תהי \( f(x)=\begin{cases} (a\sin x)^{\tan x} & x\neq\frac{1}{2}\pi \\ 1 & x=\frac{1}{2}\pi \end{cases} \).
1. אם \( a=1 \) אז \( f \) רציפה ב-\( x=\frac{1}{2}\pi \).
2. אם \( a=2 \) אז \( f \) רציפה ב-\( x=\frac{1}{2}\pi \).
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 8 (5 נקודות)
לכל \( x>0 \) מתקיים: \( \ln(1+x^2)<\arctan x \).
א. הטענה נכונה.
ב. הטענה אינה נכונה.
שאלה 9 (5 נקודות)
תהי \( f \) פונקציה גזירה בקטע \( I \).
1. אם \( f \) חח"ע ב-\( I \) אז \( f'(x)\neq 0 \) לכל \( x\in I \).
2. אם \( f'(x)\neq 0 \) לכל \( x\in I \) אז \( f \) חח"ע ב-\( I \).
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
