טופס מבחן מבוא לסטטיסטיקה ולהסתברות למדעים 2025ב'

פרטי הבחינה

שאלון בחינת גמר
30203 – מבוא לסטטיסטיקה ולהסתברות למדעים

משך בחינה: 3:15 שעות
בשאלון זה 5 עמודים
סמסטר 2025ב
י"א בתמוז תשפ"ה, 7 ביולי 2025
מס' שאלון: 576 | מס' מועד: 65

מבנה הבחינה

עליכם לענות על ארבע מתוך חמש שאלות לפי הפירוט הבא:

– סטודנטים שלמדו את הקורס בשנת 2024 יבחרו ארבע מבין השאלות 1,2,3,4,6.
– כל שאר הסטודנטים יבחרו ארבע מבין השאלות 1,2,3,4,5.

(25 נקודות לכל תשובה נכונה ומלאה).

אם תענו על יותר מארבע שאלות, תיבדקנה ארבע התשובות הראשונות לפי סדר הופעתן בקובץ הפתרונות.

לשאלון זה מצורפות טבלאות עזר.

חומר עזר:
כל חומר עזר מודפס מותר בשימוש.
אסור שימוש בעזרים ובחומרים מקוונים.
מחשבון מדעי, פיזי, שאינו אוצר מידע.

בהצלחה!!!

השאלות

בבחינה יש לענות על ארבע שאלות בלבד מתוך חמש.
סטודנטים שלמדו את הקורס בשנת 2024 (2024א, 2024ב, 2024ג) יבחרו ארבע מבין השאלות 1,2,3,4,6.
כל שאר הסטודנטים יבחרו ארבע מבין השאלות 1,2,3,4,5.

שאלה 1

בקופסא יש 16 כדורים. על חלק מהכדורים כתוב המספר 0 ועל השאר המספר 1. נמרוד בוחר באופן מקרי וללא החזרה שני כדורים מהקופסא.

ידוע שההסתברות שנמרוד יוציא שני כדורים שעליהם הספרה 1 היא 0.05.

א. (7 נק') מצאו את מספר הכדורים בקופסא שעליהם המספר 1.

ב. (6 נק') יהי \(X\) סכום המספרים שעל שני הכדורים שהוציא נמרוד. מצאו את פונקצית ההסתברות של \(X\).

ג. (12 נק') נמרוד החליט לחזור על הוצאת שני הכדורים (כמתואר בתחילת השאלה) עשר פעמים. אחרי כל הוצאה של שני כדורים הוא מחזיר אותם לקופסא לפני ההוצאה הבאה.

1. מה ההסתברות ששלוש פעמים סכום המספרים שעל שני הכדורים יהיה 1 ובשאר הפעמים הסכום יהיה 0?

2. מה תוחלת סכום הספרות המופיעות על הכדורים שהוציא נמרוד בכל 10 החזרות יחד? פרטו את שיקוליכם.

שאלה 2

אורך מלפפונים מזן מסוים מתפלג נורמלית. ידוע כי ההסתברות שאורך מלפפון מזן זה יהיה קטן מ-12 ס"מ היא 0.5, וכי ההסתברות שאורכו יהיה גדול מ-12.55 ס"מ היא 0.33.

א. (7 נק') מצאו את התוחלת ואת סטיית התקן של התפלגות אורך המלפפונים. פרטו שיקוליכם.

ב. (7 נק') מה ההסתברות שאורכו של מלפפון מקרי מזן זה יהיה בתחום של חצי סטיית תקן מתחת לתוחלת עד רבע סטיית תקן מעל התוחלת?

ג. (11 נק') עמרי בודק מלפפונים באופן מקרי עד שלראשונה מוצא אחד שאורכו גדול מ-12.55 ס"מ.

1. מה ההסתברות שיבדוק יותר מ-5 מלפפונים?

2. מה התוחלת ומה השונות של מספר המלפפונים שיבדוק?

שאלה 3

נתונים שני כדים – א' ו-ב'. בכד א' יש שישה כדורים – ארבעה מהם צהובים ושניים אדומים. בכד ב' יש רק כדורים אדומים.

א. (11 נק') ענבר בוחרת אחד משני הכדים באופן מקרי ומוציאה ממנו כדור באופן מקרי. אם הכדור הוא צהוב אז היא מוציאה באופן מקרי כדור נוסף מאותו כד (בלי להחזיר את הכדור הראשון לכד). אם הכדור הראשון הוא אדום אז היא מחזירה אותו לכד ומוציאה באופן מקרי מאותו כד כדור נוסף.

ידוע שענבר הוציאה מהכד שני כדורים באותו צבע. מה ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים צהובים?

ב. (14 נק') טל מבצעת את התהליך הבא: היא בוחרת באופן מקרי כד, מוציאה ממנו כדור באופן מקרי ואז מחזירה את הכדור לכד. טל חוזרת על התהליך 10 פעמים.

1. מה ההסתברות שבדיוק בארבע מהפעמים היא תוציא כדור צהוב?

2. ידוע שבדיוק ארבע פעמים טל הוציאה כדור צהוב. מה ההסתברות שהכדור הראשון שהוציאה היה אדום?

שאלה 4

בשבוע מסוים עידן מוזמן לשלושה אירועים – חתונה ביום חמישי בערב, מסיבת הפתעה ביום חמישי בערב וברית ביום שלישי בצהרים. החתונה ומסיבת ההפתעה מתקיימות באותו זמן ולכן לא יוכל להגיע לשתיהן. ההסתברות שיגיע לחתונה היא 0.4, ההסתברות שיגיע למסיבת ההפתעה היא 0.4 וההסתברות שיגיע לברית היא 0.4. ההסתברות שיגיע לחתונה ולברית היא 0.15 וההסתברות שיגיע למסיבת ההפתעה ולברית היא 0.15.

נגדיר את המשתנים המקריים הבאים:

\(N\) – מספר האירועים, מבין השלושה הנ"ל, אליהם עידן יגיע.
\(W\) – מקבל את הערך 1 אם עידן יגיע לחתונה ואת הערך 0 בכל מקרה אחר.

א. (11 נק') מצאו את פונקצית ההסתברות המשותפת של \(N\) ו-\(W\) ואת פונקציות ההסתברות השולית. פרטו את חישוביכם.

ב. (6 נק') האם \(N\) ו-\(W\) בלתי מתואמים? האם הם בלתי תלויים?

ג. 1. (8 נק') ידוע שעידן הגיע רק לאירוע אחד מבין השלושה. מה ההסתברות שהגיע לברית?

2. ידוע שעידן הגיע לחתונה. מה ההסתברות שהגיע לאירוע נוסף?

שאלה 5

(שאלה זו מיועדת רק לתלמידים שלמדו את הקורס ב-2025 או לפני 2024א)

חברה לשיווק קפה החליטה לבדוק את צריכת הקפה השנתית לאדם לקראת הכנת תכנית אסטרטגית. בדקו את צריכת הקפה השנתית של 100 אנשים והנתונים שהתקבלו מוצגים בהיסטוגרמה הבאה:

א. (3 נק') רשמו את הנתונים שנאספו בטבלת שכיחויות.

ב. (8 נק') מצאו את השכיח, החציון, הממוצע והשונות של צריכת הקפה השנתית.

ג. (6 נק') דוד צורך 1.4 קילוגרם קפה בשנה. מה אחוז האנשים שצורכים יותר קפה ממנו?

ד. (8 נק') לאור מחקר שהתפרסם ובו נטען שקפה מזיק לבריאות, החליטו כל האנשים להפחית קילוגרם אחד מצריכת הקפה השנתית שלהם וכל מי שצרכו 0-1 ק"ג קפה לא יצרכו קפה כלל.

אריאל טוען שבעקבות שינוי זה ממוצע הצריכה יקטן ב-1 והשונות לא תשתנה. האם תקבלו את טענתו של אריאל? נמקו, ללא חישוב מחדש.

שאלה 6

(שאלה זו מיועדת רק לתלמידים שלמדו את הקורס בשנת 2024)

א. (11 נק') הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה:

אם \(A\) ו-\(B\) מאורעות בלתי תלויים אז מתקיים \(P(A \setminus B) = P(A) \cdot [1 – P(B)]\).

ב. (14 נק') בכד 15 כדורים הממוספרים מ-1 ועד 15. מוציאים מהכד באופן מקרי ארבעה כדורים שונים.

1. מה ההסתברות שיבחר לפחות כדור אחד שעליו מספר שהוא כפולה של 5?

2. מה ההסתברות שיצא הכדור שעליו המספר 1 ועל שאר הכדורים יהיו מספרים זוגיים?

סוף!

טבלאות עזר

פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי, \(\Phi(z)\):

z	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
.0	.5000	.5040	.5080	.5120	.5160	.5199	.5239	.5279	.5319	.5359
.1	.5398	.5438	.5478	.5517	.5557	.5596	.5636	.5675	.5714	.5753
.2	.5793	.5832	.5871	.5910	.5948	.5987	.6026	.6064	.6103	.6141
.3	.6179	.6217	.6255	.6293	.6331	.6368	.6406	.6443	.6480	.6517
.4	.6554	.6591	.6628	.6664	.6700	.6736	.6772	.6808	.6844	.6879
.5	.6915	.6950	.6985	.7019	.7054	.7088	.7123	.7157	.7190	.7224
.6	.7257	.7291	.7324	.7357	.7389	.7422	.7454	.7486	.7517	.7549
.7	.7580	.7611	.7642	.7673	.7704	.7734	.7764	.7794	.7823	.7852
.8	.7881	.7910	.7939	.7967	.7995	.8023	.8051	.8078	.8106	.8133
.9	.8159	.8186	.8212	.8238	.8264	.8289	.8315	.8340	.8365	.8389
1.0	.8413	.8438	.8461	.8485	.8508	.8531	.8554	.8577	.8599	.8621
1.1	.8643	.8665	.8686	.8708	.8729	.8749	.8770	.8790	.8810	.8830
1.2	.8849	.8869	.8888	.8907	.8925	.8944	.8962	.8980	.8997	.9015
1.3	.9032	.9049	.9066	.9082	.9099	.9115	.9131	.9147	.9162	.9177
1.4	.9192	.9207	.9222	.9236	.9251	.9265	.9279	.9292	.9306	.9319
1.5	.9332	.9345	.9357	.9370	.9382	.9394	.9406	.9418	.9429	.9441
1.6	.9452	.9463	.9474	.9484	.9495	.9505	.9515	.9525	.9535	.9545
1.7	.9554	.9564	.9573	.9582	.9591	.9599	.9608	.9616	.9625	.9633
1.8	.9641	.9649	.9656	.9664	.9671	.9678	.9686	.9693	.9699	.9706
1.9	.9713	.9719	.9726	.9732	.9738	.9744	.9750	.9756	.9761	.9767
2.0	.9772	.9778	.9783	.9788	.9793	.9798	.9803	.9808	.9812	.9817
2.1	.9821	.9826	.9830	.9834	.9838	.9842	.9846	.9850	.9854	.9857
2.2	.9861	.9864	.9868	.9871	.9875	.9878	.9881	.9884	.9887	.9890
2.3	.9893	.9896	.9898	.9901	.9904	.9906	.9909	.9911	.9913	.9916
2.4	.9918	.9920	.9922	.9925	.9927	.9929	.9931	.9932	.9934	.9936
2.5	.9938	.9940	.9941	.9943	.9945	.9946	.9948	.9949	.9951	.9952
2.6	.9953	.9955	.9956	.9957	.9959	.9960	.9961	.9962	.9963	.9964
2.7	.9965	.9966	.9967	.9968	.9969	.9970	.9971	.9972	.9973	.9974
2.8	.9974	.9975	.9976	.9977	.9977	.9978	.9979	.9979	.9980	.9981
2.9	.9981	.9982	.9982	.9983	.9984	.9984	.9985	.9985	.9986	.9986
3.0	.9987	.9987	.9987	.9988	.9988	.9989	.9989	.9989	.9990	.9990
3.1	.9990	.9991	.9991	.9991	.9992	.9992	.9992	.9992	.9993	.9993
3.2	.9993	.9993	.9994	.9994	.9994	.9994	.9994	.9995	.9995	.9995
3.3	.9995	.9995	.9995	.9996	.9996	.9996	.9996	.9996	.9996	.9997
3.4	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9998

טבלת עזר: \(z\) כפונקציה של \(\Phi(z)\):

\(\Phi(z)\)	z	\(\Phi(z)\)	z	\(\Phi(z)\)	z
.50	0	.91	1.341	.995	2.576
.55	.126	.92	1.405	.999	3.090
.60	.253	.93	1.476	.9995	3.291
.65	.385	.94	1.555	.9999	3.719
.70	.524	.95	1.645	.99995	3.891
.75	.674	.96	1.751	.99999	4.265
.80	.842	.97	1.881	.999995	4.417
.85	1.036	.98	2.054	.999999	4.753
.90	1.282	.99	2.326	.9999999	5.199