האוניברסיטה הפתוחה — שאלון בחינת גמר
אלגברה לינארית לתלמידי מדעי הטבע (20430)
מס' שאלון: 472
תאריך: י"ז בשבט תשע"ט, 7 בינואר 2019
סמסטר: 2019א
מס' מועד: 82
משך הבחינה: 3 שעות
בשאלון זה: 3 עמודים
מבנה הבחינה
בבחינה חמש שאלות.
עליכם לענות על ארבע שאלות בלבד.
משקל כל שאלה 25 נקודות.
חומר עזר
מחשבון מדעי פשוט.
שיעור ראשון, שיעור שני, שיעור שלישי מהקורס 20109, וגם שיעורים 4–5–6 מהקורס 20430.
במקום שיעור ראשון של 20109 אפשר גם את חוברת פרקי הכנה מהקורס 20109.
מותרות הערות ע"ג הספרים; אסור להכניס חומר אחר מכל סוג שהוא.
בהצלחה!!!
אינכם חייבים להחזיר את השאלון לאוניברסיטה הפתוחה.
הנחיות כלליות
יש לנמק היטב את כל טענותיכם.
שאלה 1 (25 נקודות)
נתונים תת-המרחבים הבאים של \( \mathbb{R}_4[x] \):
\(W=\{ax^3-2ax^2+bx+a+b \mid a,b\in\mathbb{R}\}\)
\(U=\operatorname{Sp}\{x^3-x^2,\; x^2+x,\; 3x^3-2x^2+x\}\)
א. (10 נק') מצאו בסיס ל-\(U\) ובסיס ל-\(W\).
ב. (5 נק') באילו תנאים על המספרים הממשיים \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) הפולינום
\(p(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta\) שייך ל-\(U\)?
ג. (5 נק') השתמשו בסעיף הקודם כדי להוכיח ש-\(U \ne W\).
ד. (5 נק') הוכיחו שהפולינום \(q(x)=x^3-2x^2-x\) שייך ל-\(U\) וגם ל-\(W\).
שאלה 2 (25 נקודות)
הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:
א. (7 נק')
אם \(A,B\) מטריצות ריבועיות כך שהמטריצה \(A-3BB^t+B+B^t\) סימטרית, אז גם \(A\) סימטרית.
ב. (7 נק')
הקבוצה
\(U=\left\{\begin{pmatrix} a+c & b \\ -2b & a \end{pmatrix} \,\middle|\, a,b,c\in\mathbb{R}\right\}\)
היא תת-מרחב של \(M_{2\times 2}(\mathbb{R})\) עבור הפעולות הרגילות.
ג. (11 נק')
המטריצות
\(A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)
ו-
\(B=\begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)
דומות.
שאלה 3 (25 נקודות)
תהי \(T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) העתקה לינארית המוגדרת על-ידי:
\(T(x,y,z)=\bigl(x-y+z,\; 2x-y+az,\; x+ay+(2a^2-7)z\bigr)\)
א. (10 נק')
מצאו את הערכים של \(a\) כך שההעתקה \(T\) תהיה חד-חד-ערכית.
הסיקו שעבור הערכים האלה של \(a\) ההעתקה \(T\) היא גם על.
בסעיפים ב' ו-ג' נקבע \(a=2\).
ב. (8 נק') מצאו בסיס ל-\(\ker T\) ול-\(\operatorname{Im}T\).
ג. (7 נק') הוכיחו ש-\(T\) לכסינה.
שאלה 4 (25 נקודות)
תהיינה \(A,B\) מטריצות מסדר \(n\times n\).
נתון שכל פתרון של המערכת \(ABx=0\) הוא פתרון של המערכת \(Ax=0\).
א. (13 נק') הוכיחו שהדרגה של \(AB\) גדולה או שווה לדרגה של \(A\).
ב. (12 נק')
נתונה מטריצה הפיכה \(A\) מעל \(\mathbb{C}\) מסדר \(5\times 5\) המקיימת
\(A^4+2iA=0\).
מהם הערכים האפשריים עבור \(\det(A)\)?
מספיק להציג את ההצגה הטריגונומטרית של כל מספר אפשרי.
שאלה 5 (25 נקודות)
א. (13 נק')
יהיו \(V,W\) מרחבים לינאריים מממד סופי מעל אותו שדה.
הוכיחו שאם \(\dim(V) > \dim(W)\) אז לא קיימת העתקה לינארית \(T:V\to W\) חד-חד-ערכית.
ב. (12 נק')
תהי \(A\) תת-קבוצה של \(\mathbb{R}^4\).
נתון ש-\(A^\perp=\operatorname{Sp}\{(1,0,2,3),\,(-1,1,2,1),\,(3,-2,-2,1)\}\).
מצאו בסיס אורתוגונלי ל-\(\operatorname{Sp}(A)\).
בהצלחה רבה!
