האוניברסיטה הפתוחה — בחינת גמר
העדפה ובחירה חברתית (10502)
מס' שאלון: 128
תאריך: ח' בחשון תשפ"ב, אוקטובר 2021
סמסטר: 2021ג
מס' מועד: 86
משך הבחינה: 3 שעות
בשאלון זה: 6 עמודים
מבנה הבחינה
בבחינה שני חלקים:
חלק א: בחלק זה 4 שאלות רב-ברירה. יש לענות על כולן בגיליון התשובות שבגב מחברת הבחינה וללוות בהסברים. לכל שאלה 5 נקודות, סה"כ 20 נקודות לחלק זה.
חלק ב: בחלק זה 3 שאלות. יש לענות על כולן במחברת. משקל כל שאלה מפורט בגוף השאלון (סה"כ 80 נקודות לחלק זה).
חומר עזר
מחשבון רגיל ומדעי, שאינו אוצר מידע.
בהצלחה!!!
החזירו למשגיח את השאלון וכל עזר אחר שקיבלתם בתוך מחברת התשובות.
חלק א (20 נקודות)
בחלק זה ארבע שאלות רב-ברירה. יש לענות על כולן בגיליון התשובות שבגב מחברת הבחינה וללוות בהסברים. לכל שאלה 5 נקודות, סה"כ 20 נקודות לחלק זה.
שאלה 1 (5 נקודות)
השאלה עוסקת באספקת מוצר ציבורי, כאשר המימון הוא אחיד ושוויוני בין הפרטים.
על מנת להכריע בין הפרטים בעניין הכמות היעילה נדרש לעשות שימוש באחד מבין הכללים הבאים:
1. כלל הרוב הפשוט.
2. כלל בורדה.
3. כלל הרובניות.
4. כלל אחידות דעים בשילוב מיסים שמחושבים על פי עקרון מוגדר.
שימוש באיזה מבין הכללים הבאים מבטיח בחירה בכמות היעילה?
א. שימוש בכללים 1, 2, 3 מבטיח בחירה בכמות היעילה.
ב. שימוש בכלל מספר 4 בלבד מבטיח בחירה בכמות היעילה.
ג. שימוש בכללים 1 ו-4 מבטיח בחירה בכמות היעילה.
ד. שימוש בכל אחד מארבעת הכללים מבטיח בחירה בכמות היעילה.
ה. אף אחד מהכללים לא יכול להבטיח בחירה בכמות היעילה.
שאלה 2 (5 נקודות)
נתונה חברה הכוללת שבעה פרטים. נניח כי בשוק קיימים שני מוצרים, האחד פרטי והשני ציבורי.
פונקציית התועלת של כל הפרטים זהה ונתונה:
\(u(x,G)=\ln x + G\)
(כאשר \(G\) הוא מוצר ציבורי ו-\(x\) הוא מוצר פרטי שמחירו 1),
אך הפרטים נבדלים ביניהם בהכנסותיהם:
\(M_1=4000,\; M_2=6000,\; M_3=7500,\; M_4=8000,\; M_5=9500,\; M_6=10000,\; M_7=12000\)
עוד נניח כי הכמות מהמוצר הציבורי נבחרת על פי כלל הרוב הפשוט, כאשר המימון של המוצר הציבורי נעשה באופן שוויוני.
בחרו את הטענה הנכונה:
א. מתקיימת אספקת חסר של המוצר הציבורי.
ב. מתקיימת אספקה יעילה של המוצר הציבורי.
ג. מתקיימת אספקת יתר של המוצר הציבורי.
ד. חסרים נתונים על מנת לקבוע מה היחס בין הכמות הנבחרת מהמוצר הציבורי לבין הכמות היעילה.
ה. אף אחת מהתשובות הקודמות איננה נכונה.
שאלה 3 (5 נקודות)
נניח קבוצה של ארבע נשים \(\{a,b,c,d\}\) וקבוצה של ארבעה גברים \(\{w,x,y,z\}\) עם מערכת ההעדפות הבאה:
| נשים | סדר העדפות | גברים | סדר העדפות |
|---|---|---|---|
| a | x w y z | w | d c b a |
| b | y w z x | x | b a c d |
| c | z w y x | y | b d c a |
| d | z y x w | z | a d c b |
בחרו את התשובה הנכונה:
א. בנתונים אלו לא קיים שידוך יציב כלל.
ב. בנתונים אלו קיים שידוך יציב יחיד.
ג. בנתונים אלו קיימים בדיוק שני שידוכים יציבים.
ד. בנתונים אלו קיימים אינסוף שידוכים יציבים.
ה. כל התשובות הקודמות אינן נכונות.
שאלה 4 (5 נקודות)
נניח בעיית שידוכים שבה קיימת קבוצה של \(m\) נשים וקבוצה של \(m\) גברים, כך שלכל אישה יש יחס העדפות על קבוצת הגברים ולכל גבר יש יחס העדפות על קבוצת הנשים.
להלן מספר טענות:
טענה 1 — בבעיית השידוכים קיים לפחות שידוך יציב אחד.
טענה 2 — אם שידוך חיזור הגברים זהה לשידוך חיזור הנשים, אז שידוך זה הוא השידוך היציב היחיד.
טענה 3 — אם גבר \(a\) הוא המועדף ביותר בעיני אישה \(x\), ואישה \(x\) היא המועדפת ביותר בעיני גבר \(a\),
אז בכל שידוך יציב גבר \(a\) ואישה \(x\) משודכים זה לזו.
טענה 4 — אם גבר \(a\) הכי פחות מועדף בעיני אישה \(y\), ואישה \(y\) הכי מועדפת בעיני גבר \(a\),
אז לא ייתכן שידוך יציב שבו גבר \(a\) ואישה \(y\) משודכים זה לזו.
בחרו את התשובה הנכונה:
א. אף טענה איננה נכונה.
ב. קיימת בדיוק טענה נכונה אחת.
ג. קיימות בדיוק שתי טענות נכונות.
ד. קיימות בדיוק שלוש טענות נכונות.
ה. כל ארבע הטענות נכונות.
חלק ב (80 נקודות)
בחלק זה שלוש שאלות. יש לענות על כולן במחברת.
הקפידו לרשום את תשובותיכם בצורה מסודרת ובהירה.
בשאלות חישוביות יש להדגיש את התוצאות הסופיות, לאחר פירוט דרכי החישוב.
שאלה 5 (30 נקודות)
שימו לב!!
סטודנטים שספרת הביקורת של תעודת הזהות שלהם קטנה או שווה ל-5 יפתרו את השאלה תוך התייחסות לנתוני הפסקה הבאה המופיעים ללא הדגשה וללא קו תחתון,
ואילו סטודנטים שספרת הביקורת של תעודת הזהות שלהם גדולה מ-5 יפתרו את השאלה תוך התייחסות לנתוני הפסקה הבאה המופיעים עם הדגשה וקו תחתון.
הממשלה שוקלת להקים מתקן אגירת אנרגיה המבוסס על ייצור חשמל באמצעות פאנלים סולאריים, אשר עתיד לשרת שלושה מפעלי תעשייה גדולים.
עלות הקמת המתקן עומדת על 600 מיליון ₪,
ואם יוקם המתקן, העלות תחולק באופן הבא בין המפעלים:
\(t_1=t_2=\frac{1}{4},\; t_3=\frac{1}{2}\).
עלות הקמת המתקן עומדת על 700 מיליון ₪,
ואם יוקם המתקן, העלות תחולק באופן הבא בין המפעלים:
\(t_1=t_2=\frac{1}{4},\; t_3=\frac{1}{2}\).
הממשלה מעוניינת להשתמש במנגנון גילוי הביקוש של גרובס וקלארק כדי לקבוע האם כדאי להקים את המתקן ומה גובה מס קלארק שיש להטיל על כל מפעל.
הניחו כי המתקן החדש יגדיל את רווחיו של מפעל 1 ב-200 מיליון ₪,
של מפעל 2 ב-400 מיליון ₪,
ושל מפעל 3 ב-550 מיליון ₪.
הניחו כי המתקן החדש יגדיל את רווחיו של מפעל 1 ב-150 מיליון ₪, של מפעל 2 ב-450 מיליון ₪ ושל מפעל 3 ב-100 מיליון ₪.
א. (10 נק') האם יוקם המתקן? נמקו ולוו בהסברים.
ב. (10 נק') מה יהיה גובה המס שישלם כל מפעל? יש להציג חישוב מפורט והסבר.
ג. (10 נק') האם כדאי למפעל להצהיר מחיר סף שונה מאשר מחיר הסף האמיתי שלו? הסבירו.
שאלה 6 (20 נקודות)
נניח שכלל הבחירה החברתי הוא כלל בולדווין (Baldwin). על פי כלל זה נערכים מספר סיבובים, כאשר בכל סיבוב מדורגות האפשרויות לפי כלל בורדה,
ומודחת האפשרות שדורגה אחרונה. בסיבוב שלאחר מכן מדורגות שוב כל האפשרויות שנותרו, ושוב מודחת האפשרות שדורגה אחרונה.
כך ממשיכים בסיבובים עד שנותרת רק אפשרות אחת, והיא האפשרות הנבחרת לפי כלל בולדווין.
א. בהינתן פרופיל ההעדפות הבא, מצאו את האפשרות שתיבחר לפי כלל בולדווין:
| פרט 1 | פרט 2 | פרט 3 | פרט 4 | פרט 5 | פרט 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| z | x | y | w | w | x |
| x | w | x | y | x | y |
| y | z | z | x | y | z |
| w | y | w | z | z | w |
ב. האם כלל בולדווין בהכרח יביא לבחירה נחושה? נמקו תשובתכם.
ג. האם האפשרות שתיבחר לפי כלל בולדווין תמיד תתלכד עם האפשרות שתיבחר לפי כלל בורדה? נמקו תשובתכם.
ד. האם כלל בולדווין הוא עקבי קונדורסה? נמקו תשובתכם.
שאלה 7 (30 נקודות)
בכל אחד מסעיפי השאלה שבהמשך נדרש לענות האם התכונה הנתונה מתקיימת בפרופיל ההעדפות וכלל האגרגציה הנתונים (אין קשר בין הסעיפים).
שימו לב!!
בהמשך השאלה נתונה פעמיים פונקציית הייצור של המוצר הציבורי: פעם לסטודנטים שספרת הביקורת של תעודת הזהות שלהם קטנה או שווה ל-5,
ופעם לסטודנטים שספרת הביקורת של תעודת הזהות שלהם גדולה מ-5.
נתונים:
שני פרטים הם מועמדים להשתתפות וולונטארית בהספקת מוצר ציבורי. נסמן \(n=2\).
פונקציית הייצור של המוצר הציבורי, עבור סטודנטים שספרת הביקורת של תעודת הזהות שלהם קטנה או שווה ל-5, היא:
\[
f(m)=
\begin{cases}
0 & m=0 \\
\dfrac{2\delta}{5} & m=1 \\
1 & m=2
\end{cases}
\]
פונקציית הייצור של המוצר הציבורי, עבור סטודנטים שספרת הביקורת של תעודת הזהות שלהם גדולה מ-5, היא:
\[
f(m)=
\begin{cases}
0 & m=0 \\
\dfrac{3\delta}{7} & m=1 \\
1 & m=2
\end{cases}
\]
כאשר \(m\) הוא מספר הפרטים המשתתפים בהספקת המוצר, ו-\(m \le 2\). הניחו כי עלות ההשתתפות היא \(c\),
וכי מתקיים: \(0.5 < \delta < 1\) וכן \(0 < c < 1\).
יתר הנתונים רלוונטיים לכלל הסטודנטים:
ידוע כי פונקציית התועלת של פרט 1 היא:
\[
h_1(s_1,s_2)=
\begin{cases}
0.5f(m)-c & s_1=1 \\
0.5f(m) & s_1=0
\end{cases}
\]
ואילו פונקציית התועלת של פרט 2 היא:
\[
h_2(s_1,s_2)=
\begin{cases}
0.5f(m) & s_2=0 \\
0.5f(m)-c & s_2=1
\end{cases}
\]
פירושו של \(s_i=1\): פרט \(i\) מחליט להשתתף בהספקת המוצר הציבורי.
פירושו של \(s_i=0\): פרט \(i\) מחליט לא להשתתף בהספקת המוצר הציבורי.
שימו לב: \(m=s_1+s_2\).
א. הציגו את מטריצת התשלומים של המשחק.
ב. האם ייתכן ש"מ בשיווי משקל באסטרטגיות שולטות שבו כל השחקנים בוחרים לא להשתתף בהספקת המוצר הציבורי?
במידה וכן הציגו תנאים מתאימים לכך, אחרת נמקו מדוע הסיטואציה לא אפשרית.
ג. האם ייתכן ש"מ בשיווי משקל באסטרטגיות שולטות שבו כל השחקנים בוחרים להשתתף בהספקת המוצר הציבורי?
במידה וכן הציגו תנאים מתאימים לכך, אחרת נמקו מדוע הסיטואציה לא אפשרית.
ד. האם ייתכן כי יתקבל ש"מ שבו שחקן אחד בוחר להשתתף בהספקת המוצר הציבורי והשני בוחר שלא להשתתף? נמקו.
בהצלחה!
