האוניברסיטה הפתוחה
שאלון בחינת גמר – 20474 חשבון אינפיניטסימלי 1
מס' שאלון 516 · מועד 82 · סמסטר 2022ג · ט"ז באלול תשפ"ב, 12 בספטמבר 2022 · משך הבחינה: 3 שעות.
מבנה הבחינה
לבחינה שני חלקים.
חלק ראשון: שאלות 1–4, יש לענות על שלוש שאלות בלבד מבין שאלות 1–4. בחלק מהשאלות ישנם סעיפים, אין בהכרח קשר בין הסעיפים. יש לנמק באופן מפורט את כל הטיעונים שלכם.
חלק שני: שאלות 5–9, שאלות חובה. ענו על כל חמש השאלות. סמנו את התשובה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק, רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
חומר עזר
חוברת הגדרות ומשפטים. אסורות הערות בכתב יד על גבי החוברת. אין להכניס חומר מודפס נוסף או כל חומר אחר מכל סוג שהוא. אסור להשתמש במחשבון.
חלק ראשון
ענו על שלוש שאלות בלבד מבין השאלות 1–4.
שאלה 1 (25 נקודות)
הוכיחו את הלמה של קנטור (משפט 3.22):
תהי \( (I_n)_{n=1}^{\infty} \) סדרה יורדת של קטעים סגורים \( I_n=[a_n,b_n] \), המקיימת את התנאים:
(1) כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: \( I_n\supseteq I_{n+1} \).
(2) אורך הקטע \( I_n \) שואף לאפס: \( \lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 \).
אז קיימת נקודה אחת ויחידה \( x \), המשותפת לכל הקטעים, כלומר \( \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} I_n=\{x\} \), והנקודה \( x \) נתונה ע"י הנוסחאות \( x=\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} b_n \).
שאלה 2 (25 נקודות)
א. (10 נק') הוכיחו את משפט 2.12:
אם סדרה \( (a_n) \) מתכנסת ל-\( L_1 \), וגם ל-\( L_2 \), אז \( L_1=L_2 \).
ב. (15 נק') תהי \( f(x) \) פונקציה חיובית ורציפה בקטע \( [0,\infty) \) המקיימת \( \lim\limits_{x\to\infty} f(x)=0 \). הוכיחו שהפונקציה \( g(x)=f(x)\sin x \) מקבלת מקסימום בקטע \( (0,\infty) \).
שאלה 3 (25 נקודות)
תהי \( (a_n) \) סדרה הנתונה ע"י: \( a_1=1 \), \( a_{n+1}=\dfrac{3}{a_n}+1 \).
(1) הוכיחו שהסדרה \( (a_n) \) מוגדרת היטב, כלומר לכל \( n \) קיים \( a_n \). הדרכה: הוכיחו באינדוקציה שלכל \( n \) טבעי, \( a_n \) מוגדר ו-\( a_n>0 \).
(2) הוכיחו (מומלץ לא באינדוקציה!) שלכל \( n \) מתקיים \( a_{n+2}=4-\dfrac{9}{3+a_n} \).
(3) נסמן \( x_n=a_{2n-1} \), \( y_n=a_{2n} \). הוכיחו שהסדרות \( (x_n) \), \( (y_n) \) מתכנסות.
(4) מצאו אם הסדרה \( (a_n) \) מתכנסת או מתבדרת. במידה והיא מתכנסת, הוכיחו זאת וחשבו את גבולה. במידה והיא מתבדרת, הוכיחו זאת ומצאו את קבוצת כל הגבולות החלקיים שלה.
הערה: בכל סעיף מותר לכם להשתמש בסעיפים שקדמו לו, גם אם לא הוכחתם אותם.
(הסעיפים אינם שווי משקל)
שאלה 4 (25 נקודות)
א. (10 נק') הוכיחו שלכל \( 0<a1 \) מתקיים \( pa^{p-1}(b-a)<b^p-a^p<pb^{p-1}(b-a) \).
הערה: \( p \) אינו בהכרח מספר שלם.
ב. (15 נק') הוכיחו או הפריכו: הפונקציה \( f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x} \) רציפה במידה שווה בקטע \( (0,\infty) \).
חלק שני
שאלות 5–9 – חובה. ענו על כל חמש השאלות. בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 5 (5 נקודות)
תהי \( (a_n) \) סדרה.
1. אם \( (a_n) \) חסומה אז כל תת-סדרה של \( (a_n) \) היא חסומה.
2. אם כל תת-סדרה של \( (a_n) \) שאינה \( (a_n) \) עצמה היא חסומה, אז \( (a_n) \) חסומה.
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 6 (5 נקודות)
אם \( f \) רציפה במידה שווה בקטע \( (a,b) \) אז היא חסומה בקטע \( (a,b) \).
א. הטענה נכונה.
ב. הטענה אינה נכונה.
שאלה 7 (5 נקודות)
תהיינה \( A \) ו-\( B \) קבוצות חסומות של מספרים ממשיים שאינן מכילות את 0. נסמן \( C=\left\{\dfrac{a}{b}\;\middle|\;a\in A,\,b\in B\right\} \). אז:
א. \( \sup C=\dfrac{\sup A}{\sup B} \).
ב. \( \sup C=\dfrac{\sup A}{\inf B} \).
ג. \( C \) אינה בהכרח חסומה.
ד. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
שאלה 8 (5 נקודות)
1. לכל \( 0<a<b<1 \) מתקיים: \( \sqrt{1+e^b}-\sqrt{1+e^a}<\dfrac{(b-a)e}{2\sqrt{2}} \).
2. קיימת פונקציה \( f \) רציפה ב-\( \mathbb{R} \) כך שלכל \( x\in\mathbb{R} \) מתקיים \( f(x)\cdot(e^x+\arctan x)=1 \).
הטענות הנכונות הן:
א. 1 ב. 2 ג. 1,2 ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 9 (5 נקודות)
תהי \( f \) פונקציה גזירה בקטע \( [0,1] \) ומקיימת \( f(0)=0 \), \( f(1)=1 \). אז:
א. \( f \) מונוטונית עולה בקטע \( [0,1] \).
ב. קיימת נקודה \( c\in[0,1] \) כך ש-\( f'(c)=1 \).
ג. קיימת נקודה \( c\in(0,1) \) בה ל-\( f \) יש מקסימום מקומי.
