האוניברסיטה הפתוחה
שאלון בחינת גמר
20474 – חשבון אינפיניטסימלי 1
מס' שאלון: 476 | מס' מועד: 94 | סמסטר 2025א | י"א בניסן תשפ"ה, באפריל 2025
משך בחינה: 3 שעות | בשאלון זה 5 עמודים
מבנה הבחינה
לבחינה שני חלקים.
חלק ראשון:
שאלות 1-5, יש לענות על שלוש שאלות בלבד מבין שאלות 1-5.
אין לענות על שאלות 4 וגם 5, אפשר לבחור רק אחת מביניהן.
שאלה 4 מיועדת למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א או 2024ב או 2024ג.
שאלה 5 מיועדת למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2023, סמסטר 2025א).
בחלק מהשאלות ישנם סעיפים, אין בהכרח קשר בין הסעיפים. יש לנמק באופן מפורט את כל הטיעונים שלכם.
חלק שני:
שאלות 6-10, שאלות חובה. ענו על כל חמש השאלות. סמנו את התשובה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק, רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
חומר עזר: חוברת הגדרות ומשפטים כרוכה בהוצאת האוניברסיטה הפתוחה. אסורות הערות בכתב יד על גבי החוברת. אין להכניס חומר מודפס נוסף או כל חומר אחר מכל סוג שהוא. אסור להשתמש במחשבון, ואין להכניס כל חומר דיגיטלי!
בהצלחה !!!
חלק ראשון
ענו על שלוש שאלות בלבד מבין השאלות 1-5. ניתן לבחור רק שאלה אחת מבין שאלות 4, 5.
שאלה 1 (25 נקודות)
הוכיחו את המשפט השני של ויירשטרס (משפט 5.37):
פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. מספיק להוכיח רק את קיום המקסימום.
שאלה 2 (25 נקודות)
א. (10 נק')
הוכיחו את משפט 2.22:
מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא סדרה אפסה.
ב. (15 נק')
תהי \(f\) פונקציה רציפה בקטע \([0, \infty)\) וגזירה בקטע \((0, \infty)\). הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:
(1) אם קיים קבוע \(c > 0\) כך שלכל \(x > 0\) מתקיים \(f'(x) \ge c\), אז \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\).
(2) אם לכל \(x > 0\) מתקיים \(f'(x) > 0\), אז \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\).
(הסעיפים אינם שווי משקל)
שאלה 3 (25 נקודות)
א. (10 נק')
הוכיחו לפי שלילת ניסוח הגדרת הגבול בלשון \(\varepsilon, \delta\) (הגדרה 4.28) ש-\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x+1}{x-1} \neq 1\), כלומר שלא מתקיים \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x+1}{x-1} = 1\).
הערה: אין להוכיח בדרך השלילה, אלא רק לפי שלילת ניסוח הגדרת הגבול בלשון \(\varepsilon, \delta\).
ב. (15 נק')
תהי \(f\) פונקציה רציפה ב-\(\mathbb{R}\) המקיימת \(f(x) > e^x + e^{-x}\) לכל \(x \in \mathbb{R}\). הוכיחו ש-\(f\) מקבלת מינימום ב-\(\mathbb{R}\).
שאלות 4-5
לפניך שתי שאלות. ניתן לענות על שאלה אחת מבין השתיים בהתאם לסמסטר הלימוד שלך:
אם למדת את הקורס בסמסטר 2024א או 2024ב או 2024ג – יש לענות על שאלה מס' 4.
אם למדת את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2023 או סמסטר 2025א) – יש לענות על שאלה מס' 5.
לתשומת לבך! באחריות הסטודנט/ית להקפיד על בחירת השאלה המתאימה.
שאלה 4 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר 2024א/ב/ג
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי \((a_n)\) סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן \(L = \lim_{n \to \infty} a_n\). אז \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n)^n = \lim_{n \to \infty} L^n\).
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה \(\displaystyle f(x) = \frac{e^{-x^2} – \cos x}{x^2}\) חסומה בקטע \((0, \infty)\).
שאלה 5 (25 נקודות) – רק למי שלמד/ה את הקורס בסמסטר אחר (שנה 2023 או סמסטר 2025א)
א. (10 נק')
הוכיחו או הפריכו:
תהי \((a_n)\) סדרה חיובית ומתכנסת, ונסמן \(L = \lim_{n \to \infty} a_n\). אז \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n)^n = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right)^n\).
ב. (15 נק')
הוכיחו או הפריכו:
הפונקציה \(\displaystyle f(x) = \frac{e^{-x^2} – \cos x}{x^2}\) רציפה במידה שווה בקטע \((0, \infty)\).
חלק שני
שאלות 6-10 – חובה. ענו על כל חמש השאלות. בכל אחת מהשאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך. לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 6 (5 נקודות)
נאמר שקבוצה \(A\) צפופה בקטע \(I\) אם לכל \(x, y \in I\) כך ש-\(x < y\) קיים \(a \in A\) כך ש-\(x < a < y\).
אם \(A\) צפופה בקטע \(I\) ו-\(B\) צפופה בקטע \(J\), ויש נקודה משותפת לשני הקטעים ומכאן ש-\(I \cup J\) הוא קטע, אז
1. \(A \cup B\) צפופה ב-\(I \cup J\).
2. \(A \cap B\) צפופה ב-\(I \cup J\).
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1,2
ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 7 (5 נקודות)
1. קיימת פונקציה \(f\) המוגדרת ב-\(\mathbb{R}\) ורציפה בנקודה אחת בדיוק.
2. קיימת פונקציה \(f\) המוגדרת ב-\(\mathbb{R}\) ואינה רציפה בנקודה אחת בדיוק (כלומר \(f\) רציפה בכל נקודה פרט לנקודה אחת בדיוק בה אינה רציפה).
3. קיימת פונקציה \(f\) המוגדרת ב-\(\mathbb{R}\) וגזירה בנקודה אחת בדיוק.
4. קיימת פונקציה \(f\) המוגדרת ב-\(\mathbb{R}\) ואינה גזירה בנקודה אחת בדיוק (כלומר \(f\) גזירה בכל נקודה פרט לנקודה אחת בדיוק בה אינה גזירה).
הטענות הנכונות הן:
א. 1,2
ב. 3,4
ג. 1,3
ד. 2,4
ה. 1,2,3
ו. 1,2,4
ז. 1,2,3,4
ח. אף טענה אינה נכונה.
שאלה 8 (5 נקודות)
תהי
\[
f(x) =
\begin{cases}
(\cos x)^{\cot x} & x > 0 \\
1 & x = 0 \\
4^{\frac{a}{x}} + x^4 \cos\left(\dfrac{a}{x}\right) & x < 0
\end{cases}
\]
א. עבור \(a = 0\), \(f\) רציפה ב-\(x = 0\).
ב. עבור \(a < 0\), \(f\) רציפה ב-\(x = 0\).
ג. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.
שאלה 9 (5 נקודות)
1. לכל \(0 < a < b < \dfrac{\pi}{2}\) מתקיים: \(\bigl|\ln(\cot b) – \ln(\cot a)\bigr| > |b – a|\).
2. קיימת פונקציה \(f\) חסומה ב-\(\mathbb{R}\) כך ש-\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( f(x) + (e^{x^2} + \cos x) \right) = 2\).
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1,2
ד. אף טענה אינה נכונה.
שאלה 10 (5 נקודות)
תהי \(f\) פונקציה המוגדרת בקטע \((a, b]\).
1. אם לכל קטע \([c, d] \subset (a, b]\) הפונקציה \(f\) חסומה ב-\([c, d]\), אז \(f\) חסומה ב-\((a, b]\).
2. אם לכל קטע \([c, d] \subset (a, b]\) הפונקציה \(f\) רציפה ב-\([c, d]\), אז \(f\) רציפה ב-\((a, b]\).
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1,2
ד. אף טענה אינה נכונה.
בהצלחה!
