האוניברסיטה הפתוחה – שאלון בחינת גמר
קורס: 20474 – חשבון אינפיניטסימלי 1
מס’ שאלון: 473
מועד: א’
תאריך: כ’ באלול תשפ”ד, 23.09.2024
סמסטר: 2024ב
משך הבחינה: 3 שעות
בשאלון זה: 5 עמודים
מבנה הבחינה
לבחינה שני חלקים.
חלק ראשון: שאלות 1–4. יש לענות על שלוש שאלות בלבד מבין שאלות 1–4.
בחלק מהשאלות ישנם סעיפים; אין בהכרח קשר בין הסעיפים.
יש לנמק באופן מפורט את כל הטיעונים שלכם.
חלק שני: שאלות 5–9 – שאלות חובה. ענו על כל חמש השאלות.
בכל אחת מן השאלות יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את הטענה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך.
לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
חומר עזר והנחיות
חומר עזר: חוברת הגדרות ומשפטים. אסורות הערות בכתב יד על גבי החוברת.
אין להכניס חומר מודפס נוסף או כל חומר אחר.
אסור להשתמש במחשבון, ואין להכניס כל חומר דיגיטלי.
אינכם חייבים להחזיר את השאלון לאוניברסיטה הפתוחה.
חלק ראשון
ענו על שלוש שאלות בלבד מבין השאלות 1–4.
שאלה 1 (25 נקודות)
הוכיחו את משפט בולצאנו–ויירשטראס (משפט 3.32):
לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת.
שאלה 2 (25 נקודות)
א. (10 נקודות) הוכיחו את משפט 7.9:
אם \(f\) גזירה ב-\(x_0\), אז \(f\) רציפה ב-\(x_0\).
ב. (15 נקודות) הוכיחו שהפונקציה \(f(x)=x\tan x\) מקבלת בקטע \((0,\infty)\) כל ערך חיובי אינסוף פעמים.
כלומר: יש להוכיח שלכל \(y>0\) למשוואה \(f(x)=y\) יש אינסוף פתרונות בקטע \((0,\infty)\).
הערה: ידוע שלכל \(k\) שלם מתקיים \(\displaystyle \lim_{x\to\left(k+\tfrac12\right)\pi^-}\tan x=\infty\).
שאלה 3 (25 נקודות)
(1) עבור כל \(x\in[0,\infty)\) חשבו את הגבול:
\[
\lim_{n\to\infty} e^{\frac{nx}{\,1+n^2x^2\,}}.
\]
הערה: מדובר בגבול של סדרה; \(x\) מופיע בה כמספר קבוע (פרמטר). התוצאה יכולה להיות תלויה ב-\(x\).
(2) נסמן לכל \(n\in\mathbb{N}\) פונקציה בקטע \([0,\infty)\) על ידי:
\[
f_n(x)=e^{\frac{nx}{\,1+n^2x^2\,}} \qquad (x\in[0,\infty)).
\]
חשבו את \(\sup f_n([0,\infty))\).
רמז: חקרו את \(f_n\) בקטע \([0,\infty)\) ומצאו את \(\max f_n([0,\infty))\).
(3) נסמן \(s_n=\sup f_n([0,\infty))\) (תוצאת הסעיף הקודם). זוהי סדרה \((s_n)\).
הוכיחו או הפריכו: \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=1\).
הערה: הסעיפים אינם שווי־משקל.
שאלה 4 (25 נקודות)
א. (10 נקודות) יהיו \(A,B\) קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
(1) הוכיחו שאם \(A\subseteq B\), אז \(\sup A \le \sup B\).
(2) הוכיחו ש-\(\max\{\sup A,\sup B\}\le \sup(A\cup B)\).
הערה: הסעיפים אינם שווי־משקל.
ב. (15 נקודות) תהי \(f\) פונקציה רציפה בקטע \([0,\infty)\) המקיימת לכל \(x\in[0,\infty)\):
\[
f(x)\ge e^{x^2}.
\]
הוכיחו ש-\(f\) מקבלת מינימום בקטע \([0,\infty)\).
חלק שני
שאלות 5–9 – חובה. ענו על כל חמש השאלות.
בכל שאלה יש טענה נכונה אחת בדיוק. סמנו את התשובה הנכונה בעמוד האחרון של מחברת הבחינה במקום המיועד לכך.
לא נדרש נימוק – רק סימון במחברת מהי התשובה הנכונה.
שאלה 5 (5 נקודות)
תהי \((a_n)\) סדרה.
1. אם \((a_n)\) חסומה אז כל תת־סדרה של \((a_n)\) היא חסומה.
2. אם כל תת־סדרה של \((a_n)\) שאינה \((a_n)\) עצמה היא חסומה, אז \((a_n)\) חסומה.
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1, 2
ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 6 (5 נקודות)
תהי הסדרה \((a_n)\) שאיבריה הם:
\[
2,\; 1+\frac12,\; 3,\; 1+\frac13,\; 4,\; 1+\frac14,\; 5,\; 1+\frac15,\; \ldots
\]
אז:
א. \((a_n)\) מתכנסת במובן הרחב.
ב. \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n=\sup\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}\).
ג. \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n=\min\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}\).
ד. לסדרה \((a_n)\) יש לפחות 3 גבולות חלקיים.
ה. כל הטענות הנ״ל אינן נכונות.
שאלה 7 (5 נקודות)
תהי הפונקציה \(f\) המוגדרת על ידי:
\[
f(x)=
\begin{cases}
(a\sin x)^{\tan x}, & x\ne \frac{\pi}{2} \\
1, & x=\frac{\pi}{2}
\end{cases}
\]
1. אם \(a=1\) אז \(f\) רציפה ב-\(x=\frac{\pi}{2}\).
2. אם \(a=2\) אז \(f\) רציפה ב-\(x=\frac{\pi}{2}\).
הטענות הנכונות הן:
א. 1
ב. 2
ג. 1, 2
ד. אף טענה אינה נכונה
שאלה 8 (5 נקודות)
לכל \(0<a<b<1\) מתקיים:
\[
\sqrt{1+e^b}-\sqrt{1+e^a} \lt \frac{(b-a)e}{2\sqrt{2}}.
\]
א. הטענה נכונה.
ב. הטענה אינה נכונה.
שאלה 9 (5 נקודות)
תהי \(f\) פונקציה גזירה בקטע \([a,b]\) ומקיימת \(f(a)=a\) ו-\(f(b)=b\). אז:
א. \(f\) מונוטונית עולה בקטע \([a,b]\).
ב. קיימת נקודה \(c\in[a,b]\) כך ש-\(f'(c)=1\).
ג. קיימת נקודה \(c\in(a,b)\) בה ל-\(f\) יש מקסימום מקומי.
בהצלחה!
