האוניברסיטה הפתוחה
ו' בתמוז תשפ"ב
5 ביולי 2022
סמסטר 2022ב
20476 / 4
מס' שאלון – 492
מס' מועד 88
שאלון בחינת גמר
מתמטיקה בדידה – 20476
משך בחינה: 3 שעות
מבנה הבחינה:
בבחינה שני חלקים:
חלק א: שאלת חובה. את התשובה לכל סעיף כתבו במחברת בלבד.
חלק ב: עליכם לענות על שלוש מתוך ארבע השאלות.
אם תענו על יותר מ-3 שאלות, יחושב הציון לפי 3 התשובות הראשונות.
שימו לב:
* בחלק ב יש לנמק כל תשובה, גם אם זה לא נדרש בפירוש בגוף השאלה.
* מותר להסתמך על כל טענה המופיעה בספרי הלימוד של הקורס, כולל התשובות לשאלות שבספרי הלימוד, וכולל החוברת "אוסף תרגילים פתורים". אפשר להסתמך גם על הפתרונות שפורסמו למטלות של הסמסטר הנוכחי.
* אם ברצונכם להסתמך על טענות ממפגשי הנחיה, כולל מפגשי אופק, עליכם לחזור ולהוכיחן.
* בפתרון סעיף של שאלה מותר להסתמך על סעיפים קודמים של אותה שאלה, גם אם לא פתרתם אותם.
חומר עזר:
כל חומר עזר מותר בשימוש. אפשר להשתמש במחשבון מדעי.
אסור בשימוש כל מכשיר אלקטרוני שבאמצעותו ניתן לאצור מידע לרבות מכשיר טלפון נייד, מחשב נישא, שעון חכם וכד'.
אינכם חייבים להחזיר את השאלון לאוניברסיטה הפתוחה
בהצלחה !!!
חלק א': שאלת חובה (19 נקודות)
שאלה 1
בחרו את התשובה הנכונה בכל סעיף. רשמו את התשובות בתוך המחברת.
בשאלה זו בלבד אין צורך בהוכחה. אפשר (לא חובה) לתת הסבר קצר: כמה מלים, לא יותר משתי שורות. ההסבר עשוי לאפשר לבודק לתת לכם נקודה או שתים גם אם בחרתם תשובה לא נכונה. מצד שני, הסבר שגוי בצורה קיצונית עלול להביא להורדה של נקודה או שתים.
(6 נק') א. נתונים פסוקים \(p,q\). ידוע ש-\((p \rightarrow q) \rightarrow (\neg p \wedge q)\) הוא טאוטולוגיה.
[1] \(p \vee q\) טאוטולוגיה.
[2] \(p \equiv q\).
[3] \(p \wedge q\) טאוטולוגיה.
[5] כל הטענות הקודמות שגויות.
(7 נק') ב. נתונה קבוצה אינסופית \(A\) של מספרים ממשיים כך ש-\(A \cap \mathbf{Q} = \varnothing\). אז:
[1] \(|A| > \aleph_0\).
[2] \(|A| \leq \aleph_0\).
[3] קיים קטע פתוח \((a,b)\) (כאשר \(a,b\) מספרים ממשיים) כך ש-\(A \cap (a,b)\) קבוצה אינסופית.
[4] כל הטענות הקודמות שגויות.
(6 נק') ג. \(G\) הוא גרף המילטוני על 5 צמתים. אז:
[1] \(G\) הוא מישורי.
[2] אם \(G\) הוא מישורי אז הוא בהכרח אוילרי.
[3] אם \(G\) הוא אוילרי אך אינו מעגל, אז \(G\) לא מישורי.
[4] כל הטענות הקודמות שגויות.
חלק ב': ענו על שלוש מתוך ארבע השאלות הבאות
משקל כל שאלה 27 נקודות. משקל חלק ב' כולו: 81 נקודות
שאלה 2
נתונה \(A = \{0,1,2\} \times \{-2,-1,0,1,2\}\). על הקבוצה \(A\) מגדירים יחסים \(R,S\) כך:
לכל \(\langle x_1,y_1 \rangle, \langle x_2,y_2 \rangle \in A\), \(\langle x_1,y_1 \rangle R \langle x_2,y_2 \rangle\) אם ורק אם \(|x_1| + |y_1| = |x_2| + |y_2|\)
ולכל \(\langle x_1,y_1 \rangle, \langle x_2,y_2 \rangle \in A\), \(\langle x_1,y_1 \rangle S \langle x_2,y_2 \rangle\) אם ורק אם \(|x_1| + |y_1| = |x_2| + |y_2|\) וגם \(x_1 < x_2\).
(13 נק') א. הוכיחו ש-\(R\) הוא יחס שקילות ורשמו את האיברים בכל אחת ממחלקות השקילות.
(14 נק') ב. הראו ש-\(S\) הוא יחס סדר. קבעו אם הוא סדר חלקי או מלא (נמקו את התשובה) ומצאו את האיברים המינימליים והמקסימליים.
שאלה 3
(15 נק') א. מיצאו את מספר הפתרונות בטבעיים של המשוואה:
\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 18 \]
כאשר \(x_i \neq 5\) לכל \(1 \leq i \leq 7\).
(במילים אחרות, אף נעלם לא שווה ל-5)
(12 נק') ב. מיצאו את המקדם של \(x^{18}\) בפיתוח לטור חזקות של
\[ \left( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \frac{x^6}{1-x} \right)^{7} \]
שאלה 4
בשאלה זו \(a,b,c\) הם איברים שונים זה מזה.
(13 נק') א. מיצאו את מספר הפונקציות \(f : \{1,2,3,4,5,6,7\} \rightarrow \{a,b,c\}\) שהן על ומקיימות:
\[ \left| f^{-1}[\{a\}] \right| \leq \left| f^{-1}[\{b\}] \right| \leq \left| f^{-1}[\{c\}] \right| \]
(כאן \(|\;\;|\) זה סימון לעוצמה!)
(14 נק') ב. חשבו את מספר הפונקציות \(f : \{1,2,3,4,5,6,7\} \rightarrow \{a,b,c\}\) המקיימות את התנאי:
\[ f(7) \in f[\{1,2,3\}] \]
שאלה 5
נתון גרף פשוט \(G = (V,E)\) שבו \(V = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) ובין כל שני צמתים \(a,b \in V\) קיימת קשת ב-\(E\) אם ורק אם \(|a-b| \in \{3,4,5\}\).
(שימו לב: לכל מספר \(x\), \(|x|\) מסמן את הערך המוחלט של \(x\))
(9 נק') א. מיצאו את דרגות כל הצמתים של \(G\) והראו שיש בו 12 קשתות בדיוק.
(9 נק') ב. הוכיחו ש-\(\overline{G}\) (הגרף המשלים של \(G\)) הוא המילטוני ואוילרי.
(9 נק') ג. ידוע ש-\(\overline{G}\) גרף מישורי. חשבו את מספר הפאות שלו.
בהצלחה!
