האוניברסיטה הפתוחה
א' בתמוז תשע"ט
4 ביולי 2019
סמסטר 2019ב
13032 / 1
מס' שאלון – 368
מס' מועד 85
שאלון בחינת גמר
13032 – ניהול פרויקטים למינהל עסקים
משך בחינה: 3 שעות
מבנה הבחינה:
בבחינה 4 שאלות. הניקוד על כל שאלה מפורט בשאלון.
יש לענות על כל השאלות ועל כל הסעיפים. ענו תחילה על השאלות הקלות ואחר כך עברו אל הקשות מהן. הימנעו מבזבוז זמן רב מדי על סעיף בודד.
אם אינכם יודעים או אינכם מספיקים לפתור שאלה מסוימת או סעיף מסוים, נסו להסביר את דרך הפתרון או את עקרונותיו.
אם הנחתם הנחה כלשהי רשמו אותה במפורש. הימנעו מהתחכמויות ומתשובות שאינן מבוססות על חומר הלימוד. ענו אך ורק על מה שנשאלתם. אין לענות על מה שלא נשאלתם.
בכל תשובה יש להסביר באילו חישובים ונוסחאות השתמשתם.
הקפידו לכתוב בכתב ברור ומסודר.
יש לענות על כל השאלות במחברת הבחינה ולא על השאלון.
לשאלון מצורפים דפי נוסחאות.
חומר עזר:
מחשבון כיס-מדעי, שאינו אוצר מידע.
כל חומר עזר אחר אסור בשימוש.
החזירו למשגיח את השאלון וכל עזר אחר שקיבלתם בתוך מחברת התשובות
בהצלחה !!!
יש לענות על כל השאלות במחברת התשובות בלבד.
שאלה 1 (10 נקודות)
אתם מנהלים פרויקט בנייה של אצטדיון, שמיועד לארח כמה תחרויות ספורט במסגרת אולימפיאדת החורף שתתקיים בעוד כחודש. בגלל מזג האוויר הגרוע באזור, נוצר איחור ביציקת משטחי הבטון באצטדיון. בנוסף, אתם חוששים שמזג האוויר הגרוע ישפיע גם על איכות הבטון שכבר נוצק. אבל בגלל שהפרויקט חייב כאמור להסתיים תוך חודש ימים, החלטתם לא לעכב עוד את הפרויקט ולסיים את עבודות היציקה. האסטרטגיה שבה בחרתם לצורך התמודדות עם הסיכון היא:
א. קבלת הסיכון (risk acceptance).
ב. מניעת הסיכון (risk avoidance).
ג. בקרת הסיכון (risk control).
ד. העברת הסיכון (risk transfer).
ה. שיתוף בסיכון (risk sharing).
בחרו באחת התשובות, זאת שמתאימה ביותר, ונמקו בקצרה את בחירתכם. תשובה ללא הסבר אינה מזכה בניקוד.
שאלה 2 (30 נקודות)
הטבלה והרשת שלפניכם מתארות פרויקט כלשהו. חלק מהפעולות אקראיות והן יכולות לקבל ערכי זמן רציפים. עבורן הזמנים האופטימיים, השכיחים והפסימיים הוערכו באמצעות מומחים כמפורט בטבלה. לחלק מהפעולות משכי זמן ודאיים.
המֶשֶׁך של פעולה F הוא אקראי ובדיד שיכול לקבל שלושה ערכים בדידים בלבד. בהסתברות 0.5 פעולה F תימשך 6 ימים, בהסתברות 0.3 היא תימשך 8 ימים ובהסתברות 0.2 היא תימשך 13 ימים.
| הפעולה | זמן אופטימי a | זמן שכיח m | זמן פסימי b |
|---|---|---|---|
| A | 3 | 3 | 3 |
| B | 7 | 7 | 7 |
| C | 13 | 14 | 21 |
| D | 5 | 7 | 9 |
| E | 2 | 4 | 6 |
| F | (0.5,6; 0.3,8; 0.2,13) | ||
נדרש:
(6 נק') א. חשבו את התוחלת, השונות וסטיית התקן של הנתיבים ADE ו-C. בנוסף, ציינו את המשכים שבהם הנתיב BF עשוי להסתיים ואת ההסתברויות המתאימות לכל מֶשֶׁך של BF.
(6 נק') ב. בהתחשב בכל הנתיבים שבפרויקט, חשבו את ההסתברות שמֶשֶׁך הפרויקט יהיה 15 ימים או פחות.
(6 נק') ג. בהתחשב בכל הנתיבים שבפרויקט, חשבו את ההסתברות שמֶשֶׁך הפרויקט יהיה גדול ממש מ-16 יום.
(6 נק') ד. בהתחשב בכל הנתיבים שבפרויקט, חשבו את ההסתברות שמֶשֶׁך הפרויקט יהיה 13 ימים בדיוק (דייקו בחישוב ההסתברות ככל שתוכלו).
(6 נק') ה. בסוף הפרויקט הסתבר שהנתיבים ADE ו-C הסתיימו תוך 14 ימים בדיוק. חשבו את תוחלת מֶשֶׁך הפרויקט בכפוף למידע זה.
שאלה 3 (30 נקודות)
הטבלה שלפניכם מתארת אוסף פעולות של פרויקט. הזמנים של הפעולות שבטבלה נקבעו על פי הערכות מומחים במועד תכנון הפרויקט ולפני שהפרויקט התחיל. כמו כן קבעו המומחים תקציב מתאים (PV) לכל אחת מהפעולות. ביום ה-18 של הפרויקט שבו נקבעה אבן דרך, נערכו מדידות ונרשמו ההוצאות בפועל (AC) לכל פעולה, וכן אחוז הגימור בפועל של כל פעולה כמפורט בטבלה.
| שם הפעילות | מֶשֶׁך מתוכנן בימים | פעילויות קודמות | תקציב הפעולה (PV) בדולרים | הוצאה בפועל (AC) בדולרים ליום ה-18 | % הגימור בפועל של הפעולה ליום ה-18 |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 6 | – | 60 | 70 | 100% |
| B | 8 | – | 80 | 100 | 100% |
| C | 20 | A,B | 140 | 80 | 35% |
| D | 12 | B | 240 | 170 | 75% |
| E | 24 | A,B | 120 | 120 | 75% |
| F | 12 | D | 160 | 0 | 0% |
נדרש:
(8 נק') א. בנו את רשת הפרויקט לפי גישת AOA (הקשתות מייצגות את הפעילויות) על פי התכנון. חשבו את ארבעת הזמנים לכל הפעולות (זמן התחלה מוקדם ומאוחר וזמן סיום מוקדם ומאוחר). חשבו את מֶשֶׁך הנתיבים הקריטיים, ציינו אותם במפורש וסמנו אותם על הרשת. ציינו גם את מֶשֶׁך הפרויקט לפי התכנון.
(8 נק') ב. חשבו את הערך המתוכנן (PV), את הערך המזוכה (EV) ואת העלות בפועל (AC) של הפרויקט כולו למועד הדיווח באבן הדרך ביום ה-18 לפרויקט. חשבו גם את סטיית המחיר (CV) ואת סטיית הזימון (SV) למועד הדיווח בשיטת הערך המזוכה. ציינו אם צפויה חריגה בתקציב ו/או חריגה בלוח הזמנים. הניחו שכל פעולה לא קריטית מתוכננת להתחיל מוקדם ככל שניתן.
(7 נק') ג. בהנחה שביצועי הפרויקט מבחינת קצב הביצוע יימשכו מהיום ה-18 והלאה ועד סוף הפרויקט לפי התכנון המקורי, חשבו כמה זמן עוד ייּדרש כדי לסיים את הפרויקט ואת המֶשֶׁך הכולל של הפרויקט מתחילתו בהנחה זאת. חשבו גם את העלות הכוללת הצפויה של הפרויקט אם העלויות שיידרשו כדי להשלים את הפרויקט מהיום ה-18 והלאה יצטברו לפי התכנון המקורי.
(7 נק') ד. פעולה F שטרם החלה כוללת ייצור של 10 פריטים זהים. עובד לא מיומן אחד מייצר את הפריט הראשון תוך 2.0 ימים בדיוק, שיעור הלמידה שלו הוא 75% וכך בהתאם למודל הלמידה המעריכי נקבע המֶשֶׁך של פעולה F ל-12 ימים (תוצאת החישוב עוגלה מעלה לימים שלמים). לאור התוצאות שנמדדו באבן הדרך הוחלט לבצע את פעולה F עם 2 עובדים לא מיומנים שיעבדו במקביל ויחלקו ביניהם את העבודה כדי לקצר את מֶשֶׁך הפרויקט בהשוואה לסעיף הקודם. חשבו כמה ימים תימשך פעולה F אם תבוצע עם שני עובדים לא מיומנים זהים שיעבדו במקביל. חשבו גם כמה זמן יימשך הפרויקט כולו בעקבות שינוי זה.
שאלה 4 (30 נקודות)
חברה לניהול פרויקטים ניגשה לשני מכרזים לביצוע פרויקטים, פרויקט A ופרויקט B. ההכנסות הצפויות לחברה מפרויקט A אם תזכה במכרז עומדות על 100,000 ש"ח, וההכנסות הצפויות מפרויקט B עומדות על 199,000 ש"ח. לצורך ביצוע הפרויקטים, החברה חייבת לגייס ולהכשיר מראש צוותים מקצועיים כדי שיבצעו את הפרויקטים. כדי לבצע את פרויקט A נדרש צוות אחד. כדי לבצע את פרויקט B נדרשים שלושה צוותים. עלות הגיוס וההכשרה של כל צוות פרויקט עומדת על 20,000 ש"ח. למרות שהפרויקטים שונים, הצוותים חליפיים זה לזה ויכולים לבצע כל אחד משני הפרויקטים.
הסיכוי שהחברה תזכה במכרז לביצוע פרויקט A הוא 50%, והסיכוי שתזכה בפרויקט B הוא 30%. ניתן להניח אי-תלות סטטיסטית בין הפרויקטים בנוגע לזכייה. נציין שעלות הגיוס וההכשרה של הצוותים בסך 20,000 ש"ח לכל צוות נזקפת לחובת החברה, גם אם היא לא תעשה שימוש בצוותים שגייסה עקב אי זכייה במכרז. מנגד, אם לחברה לא יהיו מספיק צוותים לביצוע פרויקט כלשהו שבו זכתה, החברה תאלץ לוותר על הפרויקט ולשלם ללקוח קנס בסך 20,000 ש"ח לכל פרויקט שעליו ויתרה.
לנוחותכם טבלה עם ריכוז הנתונים.
| פרויקט | A | B |
|---|---|---|
| הכנסות ב-ש"ח | 100,000 | 199,000 |
| סיכויי הזכייה במכרז לביצוע הפרויקט | 0.5 | 0.3 |
| צוותים נדרשים | 1 | 3 |
| עלות הצוותים | 20,000 | 60,000 |
| קנס על ויתור מחוסר צוותים | 20,000 | 20,000 |
שימו לב שיש ארבעה מצבי טבע אפשריים: 1) החברה זוכה גם בפרויקט A וגם בפרויקט B. 2) החברה זוכה רק בפרויקט A. 3) החברה זוכה רק בפרויקט B. 4) החברה לא זוכה באף אחד משני הפרויקטים. לכל אחד מארבעת מצבי הטבע עשויה להיות הסתברות אחרת שבאפשרותכם לחשב. שימו לב שכדי לבצע את שני הפרויקטים נדרשים ארבעה צוותים. אבל אם החברה תכשיר רק שלושה צוותים ותזכה גם בפרויקט A וגם פרויקט B, היא תעדיף לבצע את פרויקט B שיש לו הכנסות גבוהות יותר ותוותר על פרויקט A.
נדרש:
(8 נק') א. הנהלת החברה רוצה לבדוק אם כדאי להכשיר מראש שלושה צוותים או ארבעה צוותים. חַשבו את תוחלת הרווח לחברה מההשתתפות במכרזים (ההכנסות מביצוע הפרויקטים, פחות עלות הגיוס וההכשרה, פחות הקנס אם החברה מוותרת על הזכייה בפרויקט), אם החברה תכשיר שלושה צוותים או ארבעה צוותים. קבעו בהתאם לקריטריון מקסימום תוחלת הרווח את מספר הצוותים המומלץ (שלושה או ארבעה).
(8 נק') ב. הניחו כעת שהקריטריון שלפיו החברה מקבלת החלטות הוא המקסימין (maximin) שאינו תלוי בהסתברויות. הניחו שהאפשרויות הרלוונטיות הן גיוס של אפס צוותים, צוות אחד, שלושה צוותים או ארבעה צוותים. הניחו שאפשרויות הזכייה במכרזים הן כאמור אפס זכיות, זכייה רק ב-A, רק ב-B או זכייה ב-A+B. חשבו לכל אפשרות גיוס את הרווח מול מצב הטבע הגרוע ביותר וקבעו לפי קריטריון המקסימין כמה צוותים יש לגייס. במקרה של ריבוי אפשרויות עם ערך מקסימין זהה, המליצו על הטובה יותר.
(8 נק') ג. הספונסר של הפרויקט טוען שתוחלת הרווח הגלומה בהשתתפות במכרז של פרויקט B נמוכה ואפילו שלילית. לכן לדבריו ההשתתפות במכרז לפרויקט B שדורש שלושה צוותים ולא תורם לרווח הייתה מוטעית. עדיף היה לדבריו להשתתף רק במכרז של פרויקט A ולגייס בהתאם רק צוות אחד.
חשבו את תוחלת הרווח של ההשתתפות במכרז של פרויקט A בנפרד (גיוס של צוות אחד), ושל פרויקט B בנפרד (גיוס שלושה צוותים). קבעו על סמך החישובים שערכתם אם אכן לפרויקט B בנפרד יש תוחלת שלילית. ציינו אם לדעתכם ההשתתפות במכרז לפרויקט B במקביל לפרויקט A הייתה אכן טעות שלא תרמה לרווח. (שימו לב שבסעיף זה הקנס על הוויתור על הפרויקט אינו רלוונטי.)
(6 נק') ד. בדיעבד, החברה גייסה שלושה צוותים אבל זכתה רק בפרויקט A. חשבו את החרטה (regret) הגלומה בצעד שבו נקטה החברה (גיוס שלושה צוותים).
ב ה צ ל ח ה !
Table IV
Areas Under the Normal Curve
| z | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -3.4 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0003 | 0.0002 |
| -3.3 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0004 | 0.0003 |
| -3.2 | 0.0007 | 0.0007 | 0.0006 | 0.0006 | 0.0006 | 0.0006 | 0.0006 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 |
| -3.1 | 0.0010 | 0.0009 | 0.0009 | 0.0009 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0008 | 0.0007 | 0.0007 |
| -3.0 | 0.0013 | 0.0013 | 0.0013 | 0.0012 | 0.0012 | 0.0011 | 0.0011 | 0.0011 | 0.0010 | 0.0010 |
| -2.9 | 0.0019 | 0.0018 | 0.0018 | 0.0017 | 0.0016 | 0.0016 | 0.0015 | 0.0015 | 0.0014 | 0.0014 |
| -2.8 | 0.0026 | 0.0025 | 0.0024 | 0.0023 | 0.0023 | 0.0022 | 0.0021 | 0.0021 | 0.0020 | 0.0019 |
| -2.7 | 0.0035 | 0.0034 | 0.0033 | 0.0032 | 0.0031 | 0.0030 | 0.0029 | 0.0028 | 0.0027 | 0.0026 |
| -2.6 | 0.0047 | 0.0045 | 0.0044 | 0.0043 | 0.0041 | 0.0040 | 0.0039 | 0.0038 | 0.0037 | 0.0036 |
| -2.5 | 0.0062 | 0.0060 | 0.0059 | 0.0057 | 0.0055 | 0.0054 | 0.0052 | 0.0051 | 0.0049 | 0.0048 |
| -2.4 | 0.0082 | 0.0080 | 0.0078 | 0.0075 | 0.0073 | 0.0071 | 0.0069 | 0.0068 | 0.0066 | 0.0064 |
| -2.3 | 0.0107 | 0.0104 | 0.0102 | 0.0099 | 0.0096 | 0.0094 | 0.0091 | 0.0089 | 0.0087 | 0.0084 |
| -2.2 | 0.0139 | 0.0136 | 0.0132 | 0.0129 | 0.0125 | 0.0122 | 0.0119 | 0.0116 | 0.0113 | 0.0110 |
| -2.1 | 0.0179 | 0.0174 | 0.0170 | 0.0166 | 0.0162 | 0.0158 | 0.0154 | 0.0150 | 0.0146 | 0.0143 |
| -2.0 | 0.0228 | 0.0222 | 0.0217 | 0.0212 | 0.0207 | 0.0202 | 0.0197 | 0.0192 | 0.0188 | 0.0183 |
| -1.9 | 0.0287 | 0.0281 | 0.0274 | 0.0268 | 0.0262 | 0.0256 | 0.0250 | 0.0244 | 0.0239 | 0.0233 |
| -1.8 | 0.0359 | 0.0351 | 0.0344 | 0.0336 | 0.0329 | 0.0322 | 0.0314 | 0.0307 | 0.0301 | 0.0294 |
| -1.7 | 0.0446 | 0.0436 | 0.0427 | 0.0418 | 0.0409 | 0.0401 | 0.0392 | 0.0384 | 0.0375 | 0.0367 |
| -1.6 | 0.0548 | 0.0537 | 0.0526 | 0.0516 | 0.0505 | 0.0495 | 0.0485 | 0.0475 | 0.0465 | 0.0455 |
| -1.5 | 0.0668 | 0.0655 | 0.0643 | 0.0630 | 0.0618 | 0.0606 | 0.0594 | 0.0582 | 0.0571 | 0.0559 |
| -1.4 | 0.0808 | 0.0793 | 0.0778 | 0.0764 | 0.0749 | 0.0735 | 0.0721 | 0.0708 | 0.0694 | 0.0681 |
| -1.3 | 0.0968 | 0.0951 | 0.0934 | 0.0918 | 0.0901 | 0.0885 | 0.0869 | 0.0853 | 0.0838 | 0.0823 |
| -1.2 | 0.1151 | 0.1131 | 0.1112 | 0.1093 | 0.1075 | 0.1056 | 0.1038 | 0.1020 | 0.1003 | 0.0985 |
| -1.1 | 0.1357 | 0.1335 | 0.1314 | 0.1292 | 0.1271 | 0.1251 | 0.1230 | 0.1210 | 0.1190 | 0.1170 |
| -1.0 | 0.1587 | 0.1562 | 0.1539 | 0.1515 | 0.1492 | 0.1469 | 0.1446 | 0.1423 | 0.1401 | 0.1379 |
| -0.9 | 0.1841 | 0.1814 | 0.1788 | 0.1762 | 0.1736 | 0.1711 | 0.1685 | 0.1660 | 0.1635 | 0.1611 |
| -0.8 | 0.2119 | 0.2090 | 0.2061 | 0.2033 | 0.2005 | 0.1977 | 0.1949 | 0.1922 | 0.1894 | 0.1867 |
| -0.7 | 0.2420 | 0.2389 | 0.2358 | 0.2327 | 0.2296 | 0.2266 | 0.2236 | 0.2206 | 0.2177 | 0.2148 |
| -0.6 | 0.2743 | 0.2709 | 0.2676 | 0.2643 | 0.2611 | 0.2578 | 0.2546 | 0.2514 | 0.2483 | 0.2451 |
| -0.5 | 0.3085 | 0.3050 | 0.3015 | 0.2981 | 0.2946 | 0.2912 | 0.2877 | 0.2843 | 0.2810 | 0.2776 |
| -0.4 | 0.3446 | 0.3409 | 0.3372 | 0.3336 | 0.3300 | 0.3264 | 0.3228 | 0.3192 | 0.3156 | 0.3121 |
| -0.3 | 0.3821 | 0.3783 | 0.3745 | 0.3707 | 0.3669 | 0.3632 | 0.3594 | 0.3557 | 0.3520 | 0.3483 |
| -0.2 | 0.4207 | 0.4168 | 0.4129 | 0.4090 | 0.4052 | 0.4013 | 0.3974 | 0.3936 | 0.3897 | 0.3859 |
| -0.1 | 0.4602 | 0.4562 | 0.4522 | 0.4483 | 0.4443 | 0.4404 | 0.4364 | 0.4325 | 0.4286 | 0.4247 |
| -0.0 | 0.5000 | 0.4960 | 0.4920 | 0.4880 | 0.4840 | 0.4801 | 0.4761 | 0.4721 | 0.4681 | 0.4641 |
| 0.0 | 0.5000 | 0.5040 | 0.5080 | 0.5120 | 0.5160 | 0.5199 | 0.5239 | 0.5279 | 0.5319 | 0.5359 |
| 0.1 | 0.5398 | 0.5438 | 0.5478 | 0.5517 | 0.5557 | 0.5596 | 0.5636 | 0.5675 | 0.5714 | 0.5753 |
| 0.2 | 0.5793 | 0.5832 | 0.5871 | 0.5910 | 0.5948 | 0.5987 | 0.6026 | 0.6064 | 0.6103 | 0.6141 |
| 0.3 | 0.6179 | 0.6217 | 0.6255 | 0.6293 | 0.6331 | 0.6368 | 0.6406 | 0.6443 | 0.6480 | 0.6517 |
| 0.4 | 0.6554 | 0.6591 | 0.6628 | 0.6664 | 0.6700 | 0.6736 | 0.6772 | 0.6808 | 0.6844 | 0.6879 |
| 0.5 | 0.6915 | 0.6950 | 0.6985 | 0.7019 | 0.7054 | 0.7088 | 0.7123 | 0.7157 | 0.7190 | 0.7224 |
| 0.6 | 0.7257 | 0.7291 | 0.7324 | 0.7357 | 0.7389 | 0.7422 | 0.7454 | 0.7486 | 0.7517 | 0.7549 |
| 0.7 | 0.7580 | 0.7611 | 0.7642 | 0.7673 | 0.7704 | 0.7734 | 0.7764 | 0.7794 | 0.7823 | 0.7852 |
| 0.8 | 0.7881 | 0.7910 | 0.7939 | 0.7967 | 0.7995 | 0.8023 | 0.8051 | 0.8078 | 0.8106 | 0.8133 |
| 0.9 | 0.8159 | 0.8186 | 0.8212 | 0.8238 | 0.8264 | 0.8289 | 0.8315 | 0.8340 | 0.8365 | 0.8389 |
| 1.0 | 0.8413 | 0.8438 | 0.8461 | 0.8485 | 0.8508 | 0.8531 | 0.8554 | 0.8577 | 0.8599 | 0.8621 |
| 1.1 | 0.8643 | 0.8665 | 0.8686 | 0.8708 | 0.8729 | 0.8749 | 0.8770 | 0.8790 | 0.8810 | 0.8830 |
| 1.2 | 0.8849 | 0.8869 | 0.8888 | 0.8907 | 0.8925 | 0.8944 | 0.8962 | 0.8980 | 0.8997 | 0.9015 |
| 1.3 | 0.9032 | 0.9049 | 0.9066 | 0.9082 | 0.9099 | 0.9115 | 0.9131 | 0.9147 | 0.9162 | 0.9177 |
| 1.4 | 0.9192 | 0.9207 | 0.9222 | 0.9236 | 0.9251 | 0.9265 | 0.9279 | 0.9292 | 0.9306 | 0.9319 |
| 1.5 | 0.9332 | 0.9345 | 0.9357 | 0.9370 | 0.9382 | 0.9394 | 0.9406 | 0.9418 | 0.9429 | 0.9441 |
| 1.6 | 0.9452 | 0.9463 | 0.9474 | 0.9484 | 0.9495 | 0.9505 | 0.9515 | 0.9525 | 0.9535 | 0.9545 |
| 1.7 | 0.9554 | 0.9564 | 0.9573 | 0.9582 | 0.9591 | 0.9599 | 0.9608 | 0.9616 | 0.9625 | 0.9633 |
| 1.8 | 0.9641 | 0.9649 | 0.9656 | 0.9664 | 0.9671 | 0.9678 | 0.9686 | 0.9693 | 0.9699 | 0.9706 |
| 1.9 | 0.9713 | 0.9719 | 0.9726 | 0.9732 | 0.9738 | 0.9744 | 0.9750 | 0.9756 | 0.9761 | 0.9767 |
| 2.0 | 0.9772 | 0.9778 | 0.9783 | 0.9788 | 0.9793 | 0.9798 | 0.9803 | 0.9808 | 0.9812 | 0.9817 |
| 2.1 | 0.9821 | 0.9826 | 0.9830 | 0.9834 | 0.9838 | 0.9842 | 0.9846 | 0.9850 | 0.9854 | 0.9857 |
| 2.2 | 0.9861 | 0.9864 | 0.9868 | 0.9871 | 0.9875 | 0.9878 | 0.9881 | 0.9884 | 0.9887 | 0.9890 |
| 2.3 | 0.9893 | 0.9896 | 0.9898 | 0.9901 | 0.9904 | 0.9906 | 0.9909 | 0.9911 | 0.9913 | 0.9916 |
| 2.4 | 0.9918 | 0.9920 | 0.9922 | 0.9925 | 0.9927 | 0.9929 | 0.9931 | 0.9932 | 0.9934 | 0.9936 |
| 2.5 | 0.9938 | 0.9940 | 0.9941 | 0.9943 | 0.9945 | 0.9946 | 0.9948 | 0.9949 | 0.9951 | 0.9952 |
| 2.6 | 0.9953 | 0.9955 | 0.9956 | 0.9957 | 0.9959 | 0.9960 | 0.9961 | 0.9962 | 0.9963 | 0.9964 |
| 2.7 | 0.9965 | 0.9966 | 0.9967 | 0.9968 | 0.9969 | 0.9970 | 0.9971 | 0.9972 | 0.9973 | 0.9974 |
| 2.8 | 0.9974 | 0.9975 | 0.9976 | 0.9977 | 0.9977 | 0.9978 | 0.9979 | 0.9979 | 0.9980 | 0.9981 |
| 2.9 | 0.9981 | 0.9982 | 0.9982 | 0.9983 | 0.9984 | 0.9984 | 0.9985 | 0.9985 | 0.9986 | 0.9986 |
| 3.0 | 0.9987 | 0.9987 | 0.9987 | 0.9988 | 0.9988 | 0.9989 | 0.9989 | 0.9989 | 0.9990 | 0.9990 |
| 3.1 | 0.9990 | 0.9991 | 0.9991 | 0.9991 | 0.9992 | 0.9992 | 0.9992 | 0.9992 | 0.9993 | 0.9993 |
| 3.2 | 0.9993 | 0.9993 | 0.9994 | 0.9994 | 0.9994 | 0.9994 | 0.9994 | 0.9995 | 0.9995 | 0.9995 |
| 3.3 | 0.9995 | 0.9995 | 0.9995 | 0.9996 | 0.9996 | 0.9996 | 0.9996 | 0.9996 | 0.9996 | 0.9997 |
| 3.4 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9997 | 0.9998 |
קורס 13032 – דפי נוסחאות למבחן
חישוב מרווחים
נסמן: המֶשֶׁך של פעולה \(i\) הוא \(D_i\), זמן ההתחלה המוקדם שלה הוא \(ES_i\), זמן ההתחלה המאוחר של הפעולה העוקבת \(j\) הוא \(LS_j\).
המרווח הכללי של פעולה \(i\): \(TF_i = LS_{j(\min)} – ES_i – D_i\).
המרווח החופשי של פעולה \(i\): \(FF_i = ES_{j(\min)} – ES_i – D_i\).
עקומות הלמידה – Learning Curves
מודל עקומת הלמידה המעריכי: \(y(x) = c\,x^{-d}\).
כאשר:
\(c\) – מספר השעות הדרוש לייצור היחידה הראשונה.
\(d\) – פרמטר המתאר את קצב הלימוד.
\(y(x)\) – הזמן השולי הנדרש לייצר את היחידה ה-\(x\).
\(L\) – שיעור הלמידה: \(L \equiv \dfrac{y(2x)}{y(x)} = \dfrac{c(2x)^{-d}}{c(x)^{-d}} = 2^{-d}\). לכן \(d = -\dfrac{\ln(L)}{\ln(2)}\).
הפעלת לוגריתם טבעי על שני האגפים של מודל הלמידה: \(\ln(y(x)) = \ln(c\,x^{-d}) = \ln(c) – d\ln(x)\).
יוצר קשר בין הטרנספורמציה הלוגריתמית ללמידה כך ש: \(a = \ln(c)\), \(b = -d\), \(c = e^{a}\).
הזמן המצטבר לייצור סדרה המתחילה בפריט ה-\(K_1\) ומסתיימת בפריט ה-\(K_2\): \[ Y(x) = \sum_{K_1}^{K_2} c \cdot x^{-d} \]
חישוב הזמן המצטבר בעבור כמות גדולה של יחידות: \[ Y(x) = \int_{K_1-0.5}^{K_2+0.5} c\,x^{-d}\,dx = \left[ \frac{c\,x^{(1-d)}}{(1-d)} \right]_{K_1-0.5}^{K_2+0.5} \]
הסתברויות
חישוב הסתברות נורמלית: \[ P(X \le x) = P\!\left( z \le \frac{x – \mu_X}{\sigma_X} \right) = \phi\!\left( \frac{x – \mu_X}{\sigma_X} \right) \]
חישוב הסתברות בינומית: \[ P(X = x) = \binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \] כאשר \(\displaystyle \binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}\).
התוחלת של משתנה מקרי בדיד (ממוצע משוקלל): \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i \times x_i \]
השונות של משתנה מקרי: \(Var(X) = E(X^2) – \big(E(x)\big)^2\).
התוחלת של סכום של משתנים מקריים: \(E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\).
השונות של סכום או של הפרש של שני משתנים מקריים בלתי תלויים:
\[ Var(aX \pm bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) \]
רשתות אקראיות עם משך פעילויות רציף
מסמנים: \(a\) – מֶשֶׁך ביצוע הפעילות בתסריט אופטימי ומהיר, \(m\) – מֶשֶׁך ביצוע בתסריט סביר ושכיח, \(b\) – מֶשֶׁך ביצוע הפעילות בתסריט פסימי ואיטי.
הזמן הממוצע \(t\) לביצוע הפעילות: \(t = \dfrac{a + 4m + b}{6}\).
סטיית התקן של זמן הביצוע: \(\sigma_t = \dfrac{b – a}{6}\).
השונות של זמן הביצוע: \(\sigma^2{}_t = \left( \dfrac{b – a}{6} \right)^{2}\).
קיצורים
נסמן: מֶשֶׁך ביצוע בקצב רגיל – \(D_N\), עלות ביצוע בקצב רגיל – \(C_N\), מֶשֶׁך ביצוע בקצב מואץ – \(D_C\), עלות ביצוע בקצב מואץ – \(C_C\). עלות הקיצור ליום קיצור (השיפוע, slope): \(\text{Slope} = \dfrac{C_C – C_N}{D_N – D_C}\).
מקצרים בכל פעם יום נוסף, ובכל פעם מקצרים את הפעולות הזולות ביותר שמאפשרות קיצור ביום. הקיצורים מסתיימים בגמר תקציב הקיצורים, או כאשר עלות קיצור נוסף גבוהה מהתועלת מהקיצור, או כאשר נוצר נתיב קריטי שבו כל הפעולות הגיעו לזמן המואץ.
נוסחאות הערך המזוכה
נסמן: העלות בפועל AC, העלות המתוכננת PV, הערך המזוכה EV, תקציב הפרויקט כולו BAC.
\(CV = EV – AC\) סטיית העלות.
\(SV = EV – PV\) סטיית הזימון.
\(EAC = \left( \dfrac{AC}{EV} \right) \cdot BAC\) – האומדן לעלות הפרויקט בהנחה של המשך לפי הקצב הקיים.
\(EAC = AC + ETC\) – אומדן העלות של הפרויקט בהנחה של המשך לפי התכנון או קצב מוגדר אחר. \(ETC\) היא העלות הנדרשת להשלמת הפרויקט מנקודת אבן דרך ועד סוף הפרויקט.
\(VAC = BAC – EAC\) – הסטייה בעלות בסיום הפרויקט.
נסמן את המֶשֶׁך של פעולה \(i\) ב-\(D_i\) ואת זמן ההתחלה המוקדם שלה ב-\(ES_i\). כדי לחשב את אחוז הגימור המתוכנן של פעולה \(i\) ביום ה-\(X\) לפרויקט לצורך חישוב PV, נשתמש בנוסחה: \(\% = \dfrac{X – ES_i}{D_i}\). אם ההנחה היא שכל פעולה מתבצעת מאוחר ככל שניתן, אז שיעור הגימור המתוכנן מחושב לפי זמן ההתחלה המאוחר. כלומר הנוסחה היא \(\% = \dfrac{X – LS_i}{D_i}\).
סטיות בצריכת חומרים
סטיית המחיר (PV – price variance) מחושבת לפי הנוסחה:
PV = (Budgeted price – Actual price) x (Actual quantity)
סטיית הכמות (UV – usage variance) מחושבת לפי הנוסחה:
UV = (Budgeted quantity – Actual quantity) x (Budgeted price)
קריטריונים לקבלת החלטות באי-ודאות
קריטריון ה-minimax – מניחים שבכל אלטרנטיבה שתיבחר יתרחש האירוע הגרוע ביותר (min) האפשרי הגלום באלטרנטיבה הנבחרת. לכן בוחרים באלטרנטיבה שבה האירוע הגרוע ביותר הוא הטוב ביותר בהשוואה לאלטרנטיבות האחרות (max).
החרטה מוגדרת כך:
(ערך הצעד שננקט) – (ערך הצעד האופטימלי שהיה ניתן לנקוט בדיעבד מול מצב הטבע) = חרטה.
קריטריון מינימום מקסימום החרטה מניח שנאת חרטה. לכן בוחרים באלטרנטיבה שבה החרטה המקסימלית שגלומה בה באלטרנטיבה כלשהי היא המינימלית בהשוואה לאלטרנטיבות האחרות.
ניהול איכות
עלויות האיכות
• עלויות מניעה (prevention costs) – העלויות הקשורות במאמץ למנוע כשלים ואי-התאמות בעתיד.
• עלויות הערכה וסינון (appraisal costs) – עלות הפעולות שמטרתן למדוד את מידת ההתאמה של המוצר או השירות לדרישות באמצעות בחינה, בדיקה וסינון מוצרים פגומים (אך ללא עלות המוצר הפגום עצמו).
• עלויות כֶּשֶׁל פנימי (internal failure costs) – עלויות הנובעות מאי-התאמות במוצר שהתגלו לפני שהמוצר נמסר ללקוח ולפני שנגרמה ללקוח הפרעה כלשהי.
• עלויות כֶּשֶׁל חיצוני (external failure costs) – עלויות הנובעות מאי-התאמות או מפגמים במוצר שהתגלו רק אצל הלקוח, או מכֶּשֶׁל בתהליך אחר שבו היה הלקוח מעורב ושנגרם באשמת הארגון.
תרשימי בקרה למשתנים
גבולות בקרה למשתנה מקרי \(X\): קו האמצע \(CL = \bar{X}\), \(UCL = \bar{X} + 3\sigma_X\), \(LCL = \bar{X} – 3\sigma_X\).
יכולת תהליך
חישוב ה-\(C_p\): \(C_P = \dfrac{USL – LSL}{6\sigma}\), כאשר USL ו-LSL הם הגבול העליון והתחתון של מפרט הלקוח בהתאמה ו-\(\sigma\) היא סטיית התקן של תהליך הייצור.
כאשר המפרט הוא חד-צדדי עם גבול עליון בלבד, \(C_p = \dfrac{USL – \mu}{3\sigma}\).
וכאשר המפרט חד-צדדי עם גבול תחתון בלבד, \(C_p = \dfrac{\mu – LSL}{3\sigma}\).
רק כאשר התהליך ממורכז לערך היעד של המפרט והמפרט דו-צדדי, רק אז היחס \(C_p = \dfrac{USL – LSL}{6\sigma}\) ישים. בכל מקרה אחר יש לחשב את יכולת התהליך באמצעות הנוסחאות החד-צדדיות.
כאשר היחס שווה 1, אזי כ-99.73% מהפריטים יהיו תקינים. תהליך שבו Cp<1 אינו כשיר. תהליך שבו Cp>1.5 הוא כשיר. תהליכים בתחום \(1 < C_p < 1.5\) נחשבים כשירים אך מחייבים פיקוח. הפיקוח ייעשה הדוק ככל ש-Cp פוחת וקרוב יותר ל-1. הקשר בין יכולת התהליך לאחוז הפגומים: \(z = (-3) \cdot C_p\), כאשר z הוא ערך של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי. בעבור מפרט דו-צדדי ותהליך ממורכז קיים אותו קשר, אך מספר החורגים מהמפרט כפול מזה של מפרט חד-צדדי.
דגימת קבלה
לכל תוכנית דגימה יש עקום אפיון תפעולי (OC – Operating Characteristic Curve). עקום האפיון מתאר את סיכויי הקבלה של מנה על פי תוכנית דגימת הקבלה ובהתחשב בשיעור הפגומים בפועל שבמנה. אם נלקח מדגם בגודל \(n\) ממשלוח בגודל N, ואם מספר הפגומים המרבי המותר במדגם שעדיין מאפשר את קבלת המשלוח הוא c, אזי סיכויי הקבלה \(P_a\) מחושבים כך:
\[ p_a = p(x \le c) = \sum_{x=0}^{c} \binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \]
***
