אלגברה לינארית 2 (20229) — שאלון בחינת גמר
האוניברסיטה הפתוחה
מס' שאלון: 426
מס' מועד: 89
תאריך: 21 בפברואר 2022 (כ׳ באדר א׳ תשפ״ב)
סמסטר: 2022א
משך הבחינה: 3 שעות
בשאלון זה: 3 עמודים
מבנה הבחינה והנחיות
עליכם לפתור 7 מתוך 8 שאלות.
אם תענו על יותר מ־7 שאלות, ייבדקו רק 7 שאלות כלשהן, לבחירת הבודק.
נא לרשום בעמוד הראשון של מחברת הפתרונות אילו שאלות בחרתם.
יש לנמק היטב את כל התשובות, ולהקפיד על כתיבה ברורה, קריאה ומסודרת.
נא לכתוב ו/או לצרף את הפתרון לשאלות השונות בדפים שונים. פתרון שנמצא בדף לא מתאים — לא ייבדק.
ציון מקסימלי: 100.
חומר עזר
יחידות לימוד בקורס 20229.
מותרות הערות על גבי יחידות הלימוד.
אין להכניס חומר מודפס או כל חומר אחר מכל סוג שהוא.
הערות כלליות (כפי שמופיעות בשאלון)
שימו לב: כל המרחבים במבחן זה הם ממימד סופי.
במבחן זה מדובר במכפלות הפנימיות הסטנדרטיות למרחבים המתאימים.
שאלות
שאלה 1 (15 נקודות)
נגדיר תבנית ריבועית \(q:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) על ידי
\(q(a,b,c,d)=b^2+c^2-4ad\).
כתבו את התבנית כסכום של ריבועים.
מצאו תת־מרחב \(U\subseteq \mathbb{R}^4\) ממימד גדול ביותר, כך ש-\(q\) חיובית לחלוטין על \(U\).
נמקו.
שאלה 2 (15 נקודות)
תהי תבנית ריבועית \(q:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) המוגדרת על ידי
\(q(a,b,c,d)=2(b^2+c^2-ad)\).
לכל תת־מרחב וקטורי \(V\subseteq \mathbb{R}^4\) נגדיר תבנית ביליניארית סימטרית
\(f:V\times V \to \mathbb{R}\) על ידי
\(f(u,v)=\tfrac{1}{2}\big(q(u+v)-q(u)-q(v)\big)\) לכל \(u,v\in V\).
האם קיים תת־מרחב \(V\subseteq \mathbb{R}^4\) בעל מימד 3 כך ש-\(f\) מהווה מכפלה פנימית במרחב \(V\)?
אם כן, מצאו קבוצה בת־סופית שפורשת את \(V\).
נמקו.
שאלה 3 (14 נקודות)
תהי \(T:M^{\mathbb{C}}_{2\times 2}\to M^{\mathbb{C}}_{2\times 2}\) טרנספורמציה ליניארית צמודה לעצמה ואוניטרית.
הוכיחו שקיים תת־מרחב \(W\) של \(M^{\mathbb{C}}_{2\times 2}\) כך שלכל מטריצה
\(A\in M^{\mathbb{C}}_{2\times 2}\) המקיימת \(A=A'+A"\),
מתקיים \(T(A)=A"-A'\),
כאשר \(A'\in W\) ו-\(A"\in W^\perp\).
נמקו.
שאלה 4 (14 נקודות)
תהי \(N\in M^{\mathbb{C}}_{n\times n}\) מטריצה נילפוטנטית מסדר \(n\ge 2\).
הוכיחו שאם \(N^{\,n-1}\neq 0\), אז לא קיימת מטריצה \(A\in M^{\mathbb{C}}_{n\times n}\) כך ש-\(A^2=N\).
נמקו.
שאלה 5 (14 נקודות)
נתונה מטריצה \(A\in M^{\mathbb{C}}_{4\times 4}\):
\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & -4 & 0 & 2 \\
4 & -4 & -2 & 4 \\
0 & 0 & 4 & -2 \\
0 & 0 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\]
הוכיחו שלמטריצה \(A\) יש רק שני ערכים עצמיים שונים, ומצאו את צורת ז׳ורדן של \(A\).
נמקו.
רמז: בדקו אם \(\det(A)=0\), ו-\(\ker(A-2I)\neq\{0\}.\)
שאלה 6 (14 נקודות)
תהיינה:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-2 & 5
\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
-3 & 6 \\
6 & -10
\end{pmatrix}.
\]
האם קיימת מטריצה אורתוגונלית \(Q\) כך שהמטריצות \(Q^tBQ\) ו-\(Q^tAQ\) אלכסוניות?
עבור איזה \(m\in\mathbb{R}\) הפונקציה \(f:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) המוגדרת על ידי
\(f(x,y)=x^t(A+mI)y\) מהווה מכפלה פנימית במרחב \(\mathbb{R}^2\)?
נמקו.
שאלה 7 (14 נקודות)
תהי \(N\in M^{\mathbb{C}}_{2\times 2}\) מטריצה נילפוטנטית.
הוכיחו שקיימת מטריצה \(A\in M^{\mathbb{C}}_{2\times 2}\) כך ש-\(A^2=I+N\).
נמקו.
רמז: מצאו את \(A\) בצורה \(A=P(N)\), כאשר \(P(x)\) פולינום ב-\(\mathbb{C}[x]\).
שאלה 8 (14 נקודות)
יהי \(m\ge 1\) מספר שלם.
תהי \(S:\mathbb{C}^{10}\to\mathbb{C}^{10}\) טרנספורמציה נורמלית המקיימת \(S+S^{-1}=0\).
מצאו את כל הערכים של \(m\) כך שהטרנספורמציה \(S^m\) אוניטרית.
נמקו.
סיום
בהצלחה!
הערה חשובה: שאלון הבחינה לא נבדק ולכן לא יכולים לכתוב ו/או לצרף פתרונות.
