מאגרי עבודות וסיכומים

הפרק נפתח בשאלה האם בכל משחק קיים שיווי משקל נאש אחד לפחות, והתשובה השלילית מודגמת במשחק התאמת המטבעות. שני שחקנים מניחים בו זמנית מטבע על השולחן ובוחרים את הצד הגלוי, "עץ" או "פלי". אם שני המטבעות מונחים כשאותו צד כלפי מעלה, שחקן 2 נותן את המטבע שלו לשחקן 1, ואם הצדדים הגלויים שונים זה מזה, שחקן 1 נותן את המטבע שלו לשחקן 2. סימון התגובות המיטביות במטריצת התשלומים מראה שאין במשחק צירוף אסטרטגיות שבו כל אסטרטגיה היא תגובה מיטבית כנגד רעותה: אם שחקן 2 בוחר "עץ" יעדיף גם שחקן 1 "עץ", אך אז יעדיף שחקן 2 לעבור ל"פלי", וחוזר חלילה. זהו מצב מטריד: אם מושג הפתרון הבסיסי של התחום אינו מספק ניבוי אפילו למשחק פשוט כזה, קשה לקוות שיצליח למדל תופעה חברתית מורכבת.

הפתרון מגיע דווקא מהרחבת אוסף האסטרטגיות. נניח כי מותר לכל שחקן גם להטיל את המטבע שלו, שסיכוייו ליפול על כל אחד מצדדיו שווים, וכי השחקנים אדישים לסיכון ומבקשים להביא למקסימום את תוחלת התשלום שלהם. אם שחקן 2 מטיל את המטבע, תוחלת התשלום של שחקן 1 היא אפס בין אם יבחר "עץ", בין אם יבחר "פלי" ובין אם יטיל אף הוא את המטבע שלו. במשחק המורחב, שבו שלוש אסטרטגיות לכל שחקן, מתקבל שיווי משקל נאש יחיד שבו שני השחקנים מטילים את המטבעות שלהם, ולכן הסכם מוקדם להטיל אותם הוא הסכם יציב שלאיש מהצדדים אין מניע לסטות ממנו.

האסטרטגיה החדשה נקראת אסטרטגיה מעורבת (‎mixed‎ ‎strategy‎), משום שהיא מערבת באמצעות הגרלה את אסטרטגיות המשחק המקורי, המכונות אסטרטגיות טהורות (‎pure‎ ‎strategies‎). באופן כללי אפשר להתיר לכל שחקן כל הגרלה שהיא, המיוצגת בהסתברות שבה הוא בוחר ב"עץ", והמשחק המתקבל נקרא הרחבת העירוב של המשחק; שיווי משקל נאש בהרחבה זו מכונה שיווי משקל נאש באסטרטגיות מעורבות של המשחק המקורי. חישוב תוחלות התשלום מראה כי שחקן 1 מעדיף ממש "עץ" אם ורק אם ההסתברות שיריבו יבחר "עץ" עולה על מחצית, מעדיף ממש "פלי" כאשר היא קטנה ממחצית, ואדיש בין כל אסטרטגיותיו כאשר היא שווה בדיוק למחצית. לכן התגובה המיטבית אינה פונקציה אלא התאמה (‎correspondence‎), ונקודת החיתוך של גרפי התגובה המיטבית של שני השחקנים היא שיווי המשקל שבו כל שחקן בוחר בכל אחת מאסטרטגיותיו הטהורות בהסתברות מחצית.

סיכום של הפרק:

חפץ, א. (2014). אסטרטגיות מעורבות. בתוך: חשיבה אסטרטגית: תורת המשחקים ושימושיה בכלכלה ובניהול (עמ' 223-256). רעננה: האוניברסיטה הפתוחה.